Bonsoir.

J'ai la fonction x=1/ exp(x) il m'est demandé de montrer que la suite Xn+1 = 1/exp(Xn)  converge vers la seul racine x dans R.

Pour suivre la méthode du point fixe j'esseye d'abord, a travers le théoreme des valeurs intermediaire de démontrer qu'il existe, sur R, une solution unique.

g(x) = 1/ exp(x)
g'(x) = -1/exp(x)

exp(x) est toujours positive, donc -1/exp(x) est toujours négative sur R
donc la fonction  g est strictement décroissante.

ensuite, lim de g(x) quand x tend vers moins l'infinie ça donne 1/0 = + infinie
et lim g(x) quand x tend vers + infinie donne zéro

ici  ( lim g(x) qd quand x=-infini )  * ( lim g(x) qd quand x= +infini ) = 0 ( ? )

Le TVI est il déja vérifée ?

Ensuite, a partir de quel x zéro pourrais-je trouver ma racine ? faut il le chercher graphiquement ?