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Methode des points conjugues

Posté par
mathchim 21-10-17 à 01:28

Bonsoir

a ) Mesurer les distances algébriques  lentille -objet OA et lentille - image OA' en établissant un tableau de correspondance pour une dizaine de valeurs de OA

OA ( en mètre )\frac{1}{OA}  en m^{-1}OA'
\frac{1}{OA'} en m^{-1}
-0,20-50,205
-0,25-416,66,02
-0,30-3,330,156,66
-0,35-2,850,147,14
-0,40-2,50,137,51
-0,45-2,220,1287,81
-0,50-20,1258


b ) Exploitation des résultats

1- Tracer la courbe \frac{1}{OA'}= f\left(\frac{1}{OA'} \right) Quelle est la forme de cette courbe obtenue

2- Déterminer graphiquement le coefficient directeur aet l'ordonnée à l'origine

écrire l'équation de la courbe sous la forme \frac{1}{OA'}= a * \left(\frac{1}{OA'} \right)+b

en remplaçant a et b par les valeurs trouvées

3 -D'après la relation de conjugaison de Descartes \frac{1}{OA'}=\frac{1}{OA}+C
Utiliser cette formule pour déterminer le coefficient théorique de la courbe
\frac{1}{OA'}=f\frac{1}{OA}
les coefficients théoriques et graphiques sont ils en accord ?

4-Utiliser les questions 2 et 3 pour déterminer la valeur de la vergence de la lentille

-----------------------------------------------------
pour un tableau de valeurs de OA et de OA' je dois tracer la  courbe demandée à la question 1 )
je ne sais pas quelle colonne du tableau je dois mettre en ordonnée
Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 21-10-17 à 06:49

Hello

Il y a une petite coquille dans l'énoncé tel que tu le recopie

Citation :
Tracer la courbe \frac{1}{OA'}= f\left(\frac{1}{OA'} \right)


On te demande plus certainement de tracer la courbe  \frac{1}{\overline{OA'}}= f\left(\frac{1}{\overline{OA}} \right)

Donc tu places \frac{1}{\overline{OA}} en abscisses
Et  \frac{1}{\overline{OA'}} en ordonnées

(je note   \overline{AB} la mesure algébrique (signée) d'un segment  pour éviter toute ambiguïté avec AB qui est la distance (positive) entre 2 points )

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 21-10-17 à 11:48

Bonjour Dirac

merci de m'avoir répondu ( aussi vite ! )

Nous avons placé l'objet sur le repère 0 de la règle graduée
pour donner à OA ( avec une barre ) la valeur de 20 cm
-- > le porte lentille sera placé au repère 20 de la règle graduée

je ne vois toujours pas pourquoi les valeurs de OA ( avec une barre )  sont placées en abscisse
et les valeurs de OA' ( avec une barre)  en ordonnée

Pouvez vous  m'aidez ? s'il vous plait

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 21-10-17 à 14:44

Citation :
je ne vois toujours pas pourquoi les valeurs de OA ( avec une barre )  sont placées en abscisse
et les valeurs de OA' ( avec une barre)  en ordonnée


Euh  

Tu écris ceci

Citation :
1) Tracer la courbe \frac{1}{OA'}= f\left(\frac{1}{OA'} \right)


La question ainsi posée est sans intérêt car elle revient à demander la première bissectrice du plan xOy (la droite y = x)

Il y a donc une (petite) erreur dans ton énoncé.

Heureusement, un peu plus loin il est demandé:

Citation :
2) écrire l'équation de la courbe sous la forme \frac{1}{OA'}= a * \left(\frac{1}{OA'} \right)+b


Donc on comprend que la question 1) était en fait : "1) Tracer la courbe \frac{1}{OA'}= f\left(\frac{1}{OA}\right) "

(le fait que je mets une "barre" sur les longueurs est juste un moyen de retranscrire le qualificatif "algébrique" de ton énoncé)

Et en sciences, quand on demande de représenter graphiquement y = f(x) il est usuel de placer x sur l'axe des abcsisses et y sur l'axe des ordonnées.

Est ce clair désormais?

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 21-10-17 à 21:15

Bonsoir Dirac

Au cours de la séances de Travaux pratiques, nous avons placé sur le repère zéro de la droite graduée, un objet ( lumineux)  représentant une lettre

-- > Cette règle graduée étant fixée sur le banc d'optique ( il faut le préciser )
Sur le banc d'optique, nous avons placé un portoir
et sur ce portoir , nous avons placé une lentille convergente

---> L'image se forme  sur l'écran à une certaine distance de la lentille
La lentille étant placé sur le repère 20 de la règle graduée
autrement dit la distance lentille - objet est 20
la mesure algébrique est -20

-----------------------------
puis on a donné la valeur de 25 cm à la distance lentille- objet etc...

---------------------------------
dans la deuxième partie : exploitation des résultats

on demande de Tracer la courbe  \frac{1}{OA'}=f\left(\frac{1}{OA} \right)

c'est à dire montrer que la fonction f telle que \frac{1}{OA'}=f\left(\frac{1}{OA} \right) peut être représentée graphiquement, c'est bien ça ?

et bien, on va dire : je ne vois pas pourquoi on parle d'une fonction f ?

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 22-10-17 à 05:11

Peux tu simplement tracer les points  (x = \frac{1}{OA},y = \frac{1}{OA'})   donnés par le tableau de relevés mesures?

Lorsqu'ensuite tu traces la courbe qui relie "naturellement" tous ces points, tu traces une courbe qui donne y  (1/OA') en fonction de x (1/OA):  tu traces donc une courbe qui est la représentation graphique de la fonction y = f(x)    (1/OA' = f(1/OA)  )

(si le sens de cette phrase n'est pas clair pour toi, je t'invite à prendre le temps de relire tes cours de maths de 3eme -notions de fonctions- et de 2nde -etude de fonctions- )

De mon côté, j'ai tracé les points de ton tableau dans le plan xOy et ... il semble à peu près évident que ces points sont alignés

La courbe représentation de la fonction f définie par  1/OA' = f(1/OA) est une droite. La fonction f est une fonction affine .

Chouette! Nous venons de répondre à la question 1)

Peux tu désormais attaquer la question 2? (Geogebra que j'ai utilisé pour tracer les points et le courbe représentative étant très malin nous fournit une équation cartésienne de cette droite, tu pourras donc contrôler les valeurs de a et b qui te sont demandés)

A toi ... tu sonnes si problème bien sûr ...

Methode des points conjugues

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 26-10-17 à 17:21

Bonjour Dirac

j'ai pris un peu de retard pour répondre !

-------------------------

je rappelle la question 2 ) Déterminer graphiquement le coefficient directeur a et l' ordonnée à l'origine de cette courbe
écrire l'équation de la droite sous la forme \frac{1}{OA'}=a * \left(\frac{1}{OA} \right)+ b en remplaçant a et b par les valeurs trouvées


-----------------------
pour déterminer le coefficient directeur, il suffit de prendre les coordonnées de deux points A et B qui sont sur la droite
le coefficient directeur est donné par a = \frac{f(B) - f(A)}{x_{B}-x_{A}}

j'ai pris le point A de coordonnées ( -5;5)
et le point G de coordonnées (-2;8)

---> le calcul sera plus facile à  faire qu'avec des valeurs comme 6,02 par exemple

a = \frac{8 - 5}{-2 -(-5)}=\frac{3}{3}=1

la courbe représentant la fonction f telle que \frac{1}{OA'}=f\left(\frac{1}{OA} \right) est une droite donc la fonction f est une fonction affine de type y = ax + b
(droite ne passant pas par l'origine )

soit y = 1 * x + 10

la droite coupe l'axe des ordonnées en 10

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 26-10-17 à 17:46



Une autre raison de choisir les points A et G est qu'il te fournissent une moindre sensibilité aux erreurs consécutives de mesures entre 2 points ... consécutifs

(à mémoriser pour les TPs)

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 26-10-17 à 18:07

Bonjour Dirac

j'ai pris les valeurs A et G pour être plus à l'aise dans le calcul
je voulais éviter par exemple C ( -3,33;6,66)
et F (-2,22 ; 7,81 )

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 26-10-17 à 18:13

comme j'ai le temps , je vais quand même le faire

a = \frac{y_{F}-y_{C}}{x_{F}-x_{C}} = \frac{ 7,81 - 6,66}{ -2,22 - (-3,33)} = \frac{1,15}{1,11}=1,03

oui , en fait ça va ( je retrouve une valeur proche de 1

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 26-10-17 à 19:27

Oui, c'est mon sujet, selon les couples points que tu prends tu vas trouver des valeurs a différentes. C'est normal:  arrondis + "erreur" de mesure. Après avoir placer les points relevés de mesure, il s'agit donc de tracer une droite qui passe "au plus près" des différents points de mesure. Le choix de A et G semble plutôt pas mal et élimine les arrondis de calculs ... puisqu'il n'y en a pas!

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 09:27

Bonjour Dirac

les erreurs de mesures ??

Au cours de la séances de Travaux pratiques

Nous avons donné à x ( distance objet - lentille ) plusieurs mesures de 20 cm à 50 cm
La lanterne porte - objet reste toujours à la graduation 0 de la règle graduée
elle ne doit pas en bouger car toutes les distances sont mesurées à partir de l'objet lumineux
la lentille est fixé sur un repère qui mesure la position précise
-----------------

ou peuvent se trouver les erreurs de mesures?

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 09:42

Toute mesure comporte une incertitude. (je ne vais pas utiliser le mot erreur, tu vas penser que je remets en cause la qualité de ton travail, même les 2 termes n'ont pas tout à fait le même sens  ... )

classe de l'appareil
paralaxe
...

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 11:55

Dirac

quand j'ai fait le calcul du coefficient directeur avec les points A et G
et bien, si j'ai pris les coordonnées de ces deux points : c'est pour faire un calcul de tête (disons un calcul rapide pour pouvoir de répondre rapidement )

-----> je  ne sais pas que le fait de prendre des points éloignés sur la droite permet
de faire une meilleure approximation

---------------------------
tout cela est encore assez flou pour moi et j'aimerais être plus à l'aise pour les prochaines
séances de Travaux Pratiques

Aurais tu la patience de me démontrer pourquoi le fait de prendre  certains points sur la droite fournissent une moindre sensibilité aux erreurs

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 11:57

J'ai les brouillons qui m'ont servi au cours de la séance de TP avec toutes les mesures prises
Peut on faire un exemple ?

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 12:46

Bon , je vois que je suis tombé sur un élève pointilleux ... c'est très bien!

L'objet du TP était de vérifier lia relation de conjugaison apprise en cours:

\frac {1}{\overline {OA'}} -\frac {1}{\overline {OA}} = \frac {1}{f'}

Soit, pour le présenter selon la formulation demandée:

\frac {1}{\overline {OA'}}  = 1 \times \frac {1}{\overline {OA}}  + \frac {1}{f'}

Donc comme l'on te demande d'établir une relation du type

\frac {1}{\overline {OA'}}  = a \times \frac {1}{\overline {OA}}  + b

On s'attend à pouvoir prouver que a = 1

1) Tu fais donc durant le TP tes relevés pour différentes distances entre O et A

Premières sources d'incertitude:  la graduation indiquant par exemple 0,20 m est elle réellement à 0,200000000... m ou bien est elle peut en fait se trouver entre 0,19 et 0,21 ou bien 0,199 et 0,201 ou bien 0,1999 et 0,2001 ... (ça c'est la "classe" de l'appareil) parce que supposons que la graduation soit précise à 1 % (c'est déjà pas mal) tu ne pourras déterminer a qu'à 0,01 près (la relation n'est pas si directe, mais je ne rentre pas dans le détail de ce calcul)

2) Tu rapportes OA dans un tableau et tu calcules 1/OA

Seconde source d'incertitude: quand tu calcules l'inverse, tu arrondis le résultat.
Exemple:  pour 1/0,35 tu retournes:  2,85,   en fait le résultat exact est: 2,85714285714286  . Il aurait donc été plus exact de retourner 2,86. Tu commets donc une erreur de 0,25%

3) Tu mesures ensuite OA'

Encore une fois une incertitude est introduite du fait de la classe du dispositif

4) Tu calcules 1/OA'

Et là encore on ajoute une incertitude due à l'arrondi de calcul. Par exemple: 1/0,15  est arrondi à 6,66 alors que c'est 6,666....  
Et en plus tu commets une erreur de calcul  en posant 1/0,13 = 7,51 alors que 1/0,13 = 7,692307692307....

Tu auras donc vu que chaque étape du procédé introduit une incertitude et qu'en plus, il y a toujours un risque d'erreur "humaine" à une étape.

Tu vas donc trouver établir une list de point  "plus ou moins" alignés que tu vas positionner sur un graphe. Là encore cette étape introduit son lot d'incertitude: précision de la règle que tu utilise, précision du quadrillage du papier, épaisseur de la mine de crayon, angle d'incidence de ton regard sur le papier (si si ça compte, cela s'appelle l'erreur de parallaxe).

Et donc tes points en final seront "plus ou moins" alignés et il faudra tracer une droite qui doit "plus ou moins" passer par tous ces points. Parce que une droite ne passera jamais exactement par tous les points pour les raisons évoquées ci dessus.

(en particulier le point E (2,5 ; 7,51)  qui aurait du être E(2,5 ; 7,69)

Il va donc falloir que tu fasses un choix de positionnement de la droite que tu vas tracer qui passe "au plus près" de tous ces points  (il existe des méthodes de calcul du meilleur choix possble, mais cela dépasse le cadre de ce sujet je crois)

Par exemple dans l'exemple ci dessous, le meilleur choix est celui dessiné qui ne passe par aucun des points tracés sur le graphique

Revenons maintenant au graphique de ton TP. Pourquoi avoir choisi les points "extrêmes". Pour 2 raisons principales:

- lors du tracé de la droite ils "ont l'air bien"
- ils ont l'immense mérite d'être des nombre entiers, et donc ils ont fait moins que les autres l'objet d'arrondis.

As ce maintenant plus clair pour toi?

  

Methode des points conjugues

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 15:44

Waouh !!

merci beaucoup Dirac

----------------------------------------

tu as trouvé exactement là ou j'ai des difficultés ( et depuis longtemps )

----------------------------------------

tout se résume en cette phrase --->  la graduation peut se trouver entre 0,19 et 0,21
ou bien 0,199 et 0,201 ---> et déjà  là je rencontre des difficultés de compréhension
je suis vite largué

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 20:44

Aïe ... j'espère que mon laïus participe à lever un coin du "brouillard".

Je ne me décourage pas et te propose de zoomer sur le point que tu soulèves, à l'aide du schéma ci dessous

Je veux mesure la distance entre les traits A et B, je prends ma règle (règle 1) et je dis: la distance est 5

Sauf que si je regarde en détail:

- zoom 1: ou ce trouve le "vrai" zéro de ma règle, calé sur la gauche du trait? calé à droite?
-zoom 2: la mesure est 5 mais pas tout à fait
-zoom 3: j'ai une seconde règle d'une marque différente et zut elle ne donne pas tout à fait la même longueur

Et il existe encore quelque autres sources d'incertitudes possibles, donc en final, la mesure que j'annonçais à 5 , n'est elle pas plutôt de l'ordre de 4,4 ou de 5,6 ce qui ferait de 4 ou 6 de meilleurs résultats de la mesure que j'effectue?

Une chose est sure:

- la vraie valeur de la distance AB: je ne la connaitrai jamais
- la qualité de ma mesure dépend de:
   . la qualité (la classe) de l'appareil de mesure que j'utilise
   . le protocole de mesure que j'emploie

Sachant que je pourrais toujours en plus faire une "erreur" de mesure (arrondi, calcul erroné) qui viendra en plus altérer la qualité du résultat final

Methode des points conjugues

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 27-10-17 à 20:46

PS: la règle 2 pourrait être de la même marque mais produite par une machine différente, ou bien sur la même machine à une température différente, avec des matières premières différentes, ....

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 28-10-17 à 00:33

Bonsoir Dirac

pas mal ! l'exemple avec la règle


--------------------------------------------------------


Dans ton post d'hier ( celui de 12 h 46 )

j'ai  vraiment apprécier le sens de ta phrase ---> la graduation indiquant 20 cm est elle réellement à 20,000000000....
et oui si elle est réellement à 20 cm cela voudrait dire 20,0000000
----------------
---> ou bien elle peut se trouver entre 19 et 21 cm
ou bien entre 19,9   et 0,201 ----> ce qui correspond à  une valeur qui se rapproche de 20

de tête , je représente assez façilement 19,9
mais si tu m'avais proposé de faire en exercice, de trouver 0,201 et bien c'est là ou j'ai une difficulté et je n'aurais pas su trouver la valeur de 0,201
en fait on dirait que je ne sais pas bien compter

-----
Pour le Tp sur la relation de conjugaison, j'ai eu  cette question : estimer la précision des mesures de \overline{OA} et évidement je n'ai pas su répondre ....

en mathèmatique -->  pareil , j'ai souvent eut des exercices avec une question finale proposant d'encadrer des valeurs ( je manque de souplesse à ce niveau )  vois-tu ?

Posté par
mathchimre : Methode des points conjugues 28-10-17 à 00:34

ah oui , merci beaucoup pour ta patience !

Posté par
diracre : Methode des points conjugues 28-10-17 à 04:46

Aïe ... ne suis pas certain que mes explications t'aident à y voir plus clair

Citation :
estimer la précision des mesures de \overline{OA}


Pour répondre à cette question et sans connaître le détail de ton TP:

- soit on te donne la "classe" du banc de mesure. Exemple: un appareil de classe 2 donc la mesure maximale est disons 1,5 m, donne des résultats dont la précision est de 150 cm x 2% = 3 cm il s'agit la de l'incertitude due à la "qualité" de l'appareil
(tu constates au passage qu'un tel banc ne doit pas être utilisé pour des mesures de qlq centimètres car sa précision ne serait pas satisfaisante)

- soit on ne te la donne pas et dans ce cas tu ne peux estimer que la précision de la mesure "que tu effectues". Et la cela dépend de la graduation de la règle utilisée:
disons que 1 graduation = 1 centimètre et que ta mesure donne  20 cm. La valeur "vraie" de la longueur mesurée peut prendre toute valeur dans l'intervalle [19,5 cm; 20,5 cm]

Tu as donc mesuré OA "à 1 centimètre près" (une graduation)

Si le sujet t'intéresse je te renvoie vers un sujet qui traite de l'incertitude d'une mesure qui a été discuté récemment Effet Doppler

N'hésite pas si besoin de plus d'info


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