salut
alors pour répondre à tes questions dans l'ordre :
- tu dois savoir que les solutions à des équa diff se cherchent sous la forme de solution particulière + solution homogène. Ici on ne cherche pas la solution homogène qui correspond au régime transitoire (en exponentielle décroissante) et on ne s'intéresse qu'à la solution particulière qui représente le régime permanent. Or une solution particulière s'inspire toujours du 2e membre. C'est pour cela qu'ici, comme on a un 2e membre sinusoïdale on va chercher la solution en sin + cos ou en sin + déphasage ce qui revient au même

-ensuite on pose -i- comme étant une exponentielle complexe. tu dois savoir que exp(jx) = cos x + j.sin x   Donc on a bien im(-i-) = Io.sin(...)
sache aussi que  Im(df/dt) = d(Im(f))/dt

est-ce clair ? d'autres questions ?

Salut efpe, merci de ta réponse.

- donc si on avait un second membre en exponentielle on aurait cherché une exponentielle  par exemple?

- Oui je sais que exp(jx) = cos x + j.sin x  mais je n'arrive pas à voir l'implication i(t) = Im(-i(t)-)
Ca nous dit juste que Ri(t) + di/dt= S0*Ω*Im(exp(jwt))

En fait, tu pourrais très bien résoudre ton équation par une méthode classique dans l'ensemble des réels et trouver la solution i(t) = .... en sin( ... )
(Utilise cette solution si tu n'es pas à l'aise !)


Mais vu que tu sais que : exp(jx) = cos x + j.sin x

Il est donc plus astucieux (et plus simple) en terme de calculs (dérivation, formule trigo, de Moivre, multiplication d'exponentielle, ...) de résoudre dans l'ensemble des complexes en posant :

= S0..exp(j.t) dont la partie imaginaire Im( )est S(t) = S0..sin(t)


Et comme te l'as dit efpe, vu qu'on cherche une solution i(t) tel qu'on a une fonction sinus à droite, on va chercher une fonction i(t) en terme de sinus.

Du coup, on va poser (choix intuitif) une fonction complexe tel que :
= I0.exp{ j.(t+) }

vu que la partie imaginaire de est donc i(t) = I0.sin(t + )



Pour vérifier que cette solution proposée est une solution possible de l'équation, on va remplacer cette forme complexe dans l'équation différentielle et c'est là qu'apparaît la grandeurs des exponentielles !
Si tu dérives une fonction exponentielle (ton terme di/dt), tu as toujours une exponentielle alors que si tu avais dériver un sinus, tu aurais eu cosinus qui serait apparu !

Ton équation différentielle, en complexe, devient donc :
R. + d /dt =

R.I0.exp{ j.(t+) } + d(I0.exp{ j.(t+) })/dt = S0..exp(j.t)

Essaye de poursuivre le calcul, cela devrait t'amener à pouvoir identifier les différents termes (I0, , ...)

Et de ce fait, comme on a poser que la partie imaginaire de ta solution était i(t), y'a qu'à écrire directement la bonne forme en virant le exp(j ) et en écrivant sin(...)

Salut,

Oui je comprends la méthode et connais la poursuite des calculs pour exprimer i(t). Mais le seul point qui me pose problème c'est le "i(t)=Im(-i(t)-) . On aurait pu cherché la solution en cosinus, ce qui revient au même avec un déphasage supplémentaire.. donc je ne comprends pas trop cette identification

Tu as parfaitement raison. On aurait pu poser cela à un déphase de /2 supplémentaire près... mais c'est se compliquer la vie.

Et de toute façon, comme tu prend la partie imaginaire de ton membre de droite, alors tu prends la partie imaginaire de ton membre de gauche aussi sinon ton égalité n'est pas valable !

On a bien et sin(Ωt)=Im(exp(jΩt) donc
Ri + di/dt = Im[(R+jΩ)*(-i(t)-)]
mais pourquoi i(t)=Im(-i(t)-) ?

Comme je te l'ai dit, c'est parce que on a posé que :

i(t) = I₀.sin(t+)
(fonction réelle)

Et ceci, c'est la partie imaginaire d'une fonction complexe
= I₀.exp[ j(t+) ] = I₀ [ cos(t+) + j.sin(t+) ] = I₀.cos(t+) + j.I₀.sin(t+)

Moi, je l'ai noté mais toi, tu l'as noté -i(t)-

ou c'est le passage à
Ri + di/dt = Im[ (R+j) ] qui te gêne ?

Ce serait bon de poser i(t)=I0 cos(Ωt +φ) et d'identifier ensuite i(t) avec la partie réelle de -i(t)- ?

Peut-être, pourquoi pas... Moi j'vois rien qui empêche de poser cela !
La fonction cos est solution de l'équa.diff. à mon avis.

C'est une question mathématique...
Je pense que tu aurais peut-être plus de chance d'avoir ta réponse sur le forum de Maths...

Et si tu trouves la réponse (ou qu'on te la donne), j'veux bien en connaître la raison...
(Mais je cherche toujours intérieurement ! )