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Mécanique: Systèmes amorties.
Bonjour,
J'ai un petit problème de physique sur les amortissements que je n'arrive pas à résoudre. Je suis pourtant persuadé que la solution n'est pas si compliquée que ça à trouver cependant elle m'échappe. Quelqu'un pourrait-il m'aider? Merci d'avance
Voici le problème:
Les systèmes représentés sur les figures 1 et 2 sont au repos (en équilibre).
Au temps t=0 on tire la masse de la figure 1 de 0,2m vers la gauche en lui donnant la vitesse initiale vo=0,4 m/s dirigée vers la gauche.
Au temps t=0 on tire la masse de la figure 2 de 0,2m vers le bas en lui donnant la vitesse initiale vo=0,3 m/s dirigée vers la vers le bas.
A.N : m1=0,25 kg, 
1=4 Ns/m, 2=4/3 Ns/m, k=1
a) Trouver la solution de l'équation du mouvement à l'instant t pour chacune des deux figures.
b) Quel type d'amortissement trouve-t-on dans le cas de la figure 1 ?
c) Comment faut-il accrocher un autre ressort et quelle raideur doit-il avoir pour avoir l'amortissement critique dans le cas de la figure 2 ?
d) Trouver la valeur du facteur de qualité dans le cas de la figure 1.
La figure 1 simplifier est ci dessous.
J'ai trouver ceci:
Dans le régime transitoire, la force extérieur est nulle. Le système se comporte comme un oscillateur harmonique soumis uniquement à une force de frottement.
mx"=-kx-x'
mx"+kx+x'=0/:m
x"+(k/m)x+(/m)x'=0
x"+wo²x+(/m)x'=0
On pose x(t)=z(t)=exp(st)
on a alors (s²exp(st)+(/m)sexp(st)+wo²exp(st)=0
(s²+(/m)s+wo²)exp(st)=0/:exp(st)
s²+(/m)s+wo²=0
on en tire que les racines sont de la forme s(1,2)=(-/2m)+/-(1/2)
((/m)²-4wo²)
On a alors une solution de l'équation différentielle:
z(t)=C1exp(s1t)+C2exp(s2t)
(/m)²=16
4wo²=16
alors (/m)²-4wo²=0
L'AMORTISSEMENT EST ALORS CRITIQUE.
a t=0 et vo>0 il faut différencier C1 et C2 car C1=C2, on pose X2=texp(-wot)
alors x(t)=Aexp(-t/2m)+Btexp(-t/2m)
t=0, X(0)=xo=A=C1
vo=x'=(-/2m)Aexp(-t/2m)+Bexp(-t/2m)+Btexp(-t/2m)
alors vo=x'=(-/2m)A+B
vo=x'=(-/2m))xo+B
d'ou B=vo+(xo/2m)
d'ou la solution de l'équation du mouvement à l'instant t:
x(t)=xoexp(-t/2m)+(vo+(xo/2m))texp(-t/2m)
Le régime étant critique, (/m)²=4wo² alors le facteur de qualité à pour valeur Q=1/2
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