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Mécanique: Ressort, PFD, Energie mécanique
Bonjour à toutes et à tous !
Voilà, je bloque sur un exercice en mécanique et fais donc appel à vous.
Voici l'énoncé:
On assimile le corps de masse m à un point m qui est initialement en B.Le ressort, de masse négligeable, a une raideur notée k et une longueur à vide l0. Celui-ci est fixé à l'une de ses extrémités (pt O) et un plateau de masse négligeable est fixé à son autre extrémité (A). La vitesse
initiale=0. On néglige tous les frottements.
A t = 0s, on lâche la masse m.
1) Y a-t-il conservation de l'énergie mécanique lors du mouvement de m de B vers A?
2) En déduire la vitesse de m au pt A.
3) Vérifier par le PFD
5) Arrivé en A, la masse reste solidaire du plateau. Donner l'équation du second degré qui permet de connaître de combien au maximum le ressort va se comprimer par la suite. (on notera X cette distance)
6) Donner l'équation du mouvement de m pour t > t1 :en utilisant l'énergie puis par le PFD.
7) En déduire l'expression permettant de connaître la position de m à chaque instant.
8) Calculer la position d'équilibre autour de laquelle s'effectuent les oscillations.
On reprend le problème en tenant compte maintenant du frottement solide (de type coulomb) entre
la masse et le support incliné. On note m le coefficient de frottement.
9) Quelle relation doit-on avoir entre m et a pour que le mouvement de m puisse s'initier en
B?
10) Décrire précisément, dans ce cas, le mouvement de m après être arrivée en A
Voici ce que j'ai fait:
1)
Bilan des forces: Poids et la réaction du support
Oui, il y a conservation car le poids dérive d'une énergie potentielle et que la réaction du support est orthogonal au vecteur vitesse
Donc
Donc on en déduit qu'il y a conservation de l'énergie mécanique
2) On peut utiliser le résultat précédent et dire:
Em(A)= Em(B)
L'énergie mécanique, c'est l'énergie cinétique avec l'énergie potentielle (ici de pesenteur)
d'où:
0.5*m*Va²+Epp=0+Epp (pas de vitesse en B car v0=0)
Pour A:
Epp=m*g*lo*sin(a) (a pour "alpha")
Pour B:
Epp= m*g*(lo+d)sin(a)
d'où: 0.5*m*Va²+mglosin(a)=mg(lo+d)sin(a)
Va=sqrt(2gdsin(a))
3)Pour le PFD, je retrouve le même résultat hormis la présence d'un signe "-". Pouvez m'indiquer mon erreur ?
En fait, il faut déterminer le temps pour lequel la masse arrive en A puis le réinjecter dans la formule de la vitesse.
m*acc=-mgsin(a)
En intégrant:
V=-gsin(a)*t
En intégrant:
X=-0.5(gsin(a))*t²+(lo+d)
Or en A, X=lo
et en isolant t, je trouve:
Je réinjecte dans V et je trouve:
V=
V=-sqrt(2dgsin(a))
Où est donc mon erreur ?
5) Est ce l'équation des oscillateurs qui est demandé ?
J'ai pris en compte l'énergie potentielle élastique: 0.5k*X²
Comme on rajoute une force qui dérive d'une énergie potentielle, l'énergie mécanique est conservée.
D'où Em(A)=Em(t>t1)
mglosin(a)=0.5K*X²+mglosin(a)+0.5*m*V²
d'où:
0.5*KX²+0.5*m*V²=0
J'utilise la conservation et que
En dérivant, je retombe sur la formule des oscillateurs harmoniquesà savoir:
6)Pour l'équation du mouvement, peut on dire que c'est la solution de l'équation des oscillateurs harmoniques puisque c'est lui qui va induire le mouvement à la masse.
Donc je pense qu'il faut résoudre l'équation mais je bloque au niveau des conditions initiales.
X=Acos(wt+phi)
Dois je considérer que t1=0 ? car c'est l'étude à partir de cet instant où dois je reprendre celle de la question 3).
Comme condition, à t1, X(t1)= l0
Et la dérivée de X, la vitesse "initial", on l'a calculé avant.
Avec tout ça, je n'arrive pas à trouver A et w0.
Voici mon système:
X(t1)=Acos(wt1+phi)=l0
V(t1)=Acos(wt+phi)=Sqrt(2g*d*sin(a))
8) Qu'entende il par position d'équilibre ? (quand le ressort arrête d'osciller ?)
9) Je pense que le mouvement est possible seulement si la force qui "fait tomber" soit supérieure aux frottements+réactions du support+Poids.
Pouvez vous m'éclairer.
Je sais que cela fait beaucoup de questions mais je vous remercie de votre aide.
Merci d'avance
2)
A partir de : d'où: 0.5*m*Va²+mglosin(a)=mg(lo+d)sin(a)
Va² = 2gd.sin(a)
Et donc va = +/- sqrt(2gd.sin(a))
Le signe + ou le - est à choisir en fonction des conventions de signe que tu n'as pas précisées.
(Il est évident que la vitesse est dans le sens de descente du plan incliné, mais comme tu n'as pas précisé la convention de signe choisie, tu ne peux pas décider si il faut écrire + ou - pour la vitesse.)
3)
Dans le cas du PFD, tu as écrit : V=-g.sin(a)*t ...
Et donc là, V est choisi positif vers le haut du plan incliné, puisque de signe opposé à g.
Donc ici, le signe est déterminé et comme la vitesse en A est vers le bas, v est négative.
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5)
Energie cinétique de la masse en A + Travail du poids de la masse entre A et le point le plus bas atteint = Energie emmagasinée dans mle ressort.
(1/2).m.Vo² + mg.X.sin(a) = (1/2).k.X²
Avec X la compression max du ressort.
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6)
-mg.sin(a) - k.(x-Lo) = m.d²x/dt² (avec t = 0 choisi ici au moment où la masse arrive en A)
avec V(0) = VA et x(0) = Lo
Attention aux conventions de signes ...
Résoudre cette équation différentielle ...
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8)
La position d'équilibre est celle résultant de -mg.sin(a) - k.(x-Lo) = 0
x = Lo - (m/k).g.sin(a)
La masse devrait osciller symétriquement par rapport à cette position.
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9)
Si on veut éviter les bisbrouilles, il ne faut pas appeler m le coeff de frottement (m est déjà réservé à la masse )
Pour que le mouvement s'initie en B, il faut que la force de friction max soit < mg.sin(a)
Soit µ le coeff de frottement.
La réaction normale de la piste sur l'objet est N = mg.cos(a)
La force de friction max est alors : Ff = µ.N = µ.mg.cos(a)
Pour que le mouvement s'initie en B, il faut que : µ.mg.cos(a) < mg.sin(a)
µ < tg(a)
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Sauf distraction, vérifie.
Bonjour, merci d'avoir répondu !
Plusieurs questions me viennent.
2)3) Donc peut importe le signe. Ce n'est qu'une question de convention, c'est bien cela ?
5)
Energie cinétique de la masse en A + Travail du poids de la masse entre A et le point le plus bas atteint = Energie emmagasinée dans mle ressort.
(1/2).m.Vo² + mg.X.sin(a) = (1/2).k.X²
Vous avez appliqué le principe de conservation de l'énergie Mécanique.
Em(A)= Em(t>t1)
Je ne comprends pas, pourquoi avoir dis que Em(t>t1)= (1/2).k.X² ? Je veux dire qu'il y aussi une Energie potentielle de pesanteur, pas seulement élastique.
Ce qui reviendrait à :
m.g.lo.sin(a)+(1/2).m.Va²=(1/2)K.X²+m.g.X.sin(a)
Et pourquoi dire que l'énergie cinétique est nulle en A (la masse vient bien descendre et entraîner la compression du ressort, la vitesse n'est donc pas nulle, non ?)
On pourrait appliquer la conservation entre entre B et (t>t1), cela serait plus simple:
Em(B)=Em(t>t1)
mg.sin(a).(lo+d)=(1/2)K.X²+mg.sin(a).(X)+(1/2)V²
Est ce juste ?
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6) D'accord pour les conditions initiales, c'est plus simple de considérer à t=0.
Mais je bloque, voici mon avancement:
Solution de l'équation homogène: X1(t)=Acos(wt+phi)
Solution équation pariticulière: X2(t)=-(g.m.sin(a))/k
Solution :X(t)=Acos(wt+phi))-(g.m.sin(a))/k
Détermination de A et phi avec conditions initiales:
X(0)= Lo
V(0)= Va
V=-A.w.sin(wt+phi)
Je lie tous ça:
X(0)=Lo=A.cos(phi))-(g.m.sin(a))/k
V(0)=Va=-A.w.sin(phi)
Que faire maintenant ? Si j'isole le phi de la deuxième équation, je vais me retrouver avec du Arcsin que je devrais réinjecter dans la première équation. N'y a t-il pas plus simple ou dois je faire les calculs?
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6) Toujours pour la question 6), j'avais oublié de vous demander avec la méthode du PFD. Je suis bloqué dessus.
Les forces en jeux sont: P, T et N.
Je projette sur l'axe X1 et j'obtiens donc la relation:
-m.g.sin(teta)-k.X=m.d²X/dt
Le problème est ce teta, comment faire pour m'en débarasser ?
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7) C'est impossible de traduire tout le mouvement par une équation, non ?
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8) Compris
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9)D'où vient cette formule: Ff = µ.N ?
10) Pensez vous qu'il faut faire un calcul ? Sinon, logiquement, il faudrait utiliser le résultat de la question 9).
Dois je faire un PFD et prendre en compte les frottements ?
Merci d'avance.
5)
Attention :
Ici X représente l'écrasement max du ressort et pas l'abscisse de la masse.
Au moment de l'écrasement max du ressort, le sens de déplacement de la masse change ... et donc la vitesse de la masse à ce point est nul. (et l'énergie cinétique de la masse y est nulle aussi).
Dans la formule (1/2).m.Vo² + mg.X.sin(a) = (1/2).k.X²,
Vo est la vitesse an A (et n'est pas nulle).
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7)
-mg.sin(a) - k.(x-Lo) = m.d²x/dt²
m.d²x/dt² + kx = k.Lo - mg.sin(a)
Il faut résoudre cette équation :
a)
Solutions de m.d²x/dt² + kx = 0
p² = -k/m
x = A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t)
b) Solution particulière de m.d²x/dt² + kx = k.Lo - mg.sin(a) :
x = Lo - (mg/k).sin(a)
Solutions générales de -mg.sin(a) - k.(x-Lo) = m.d²x/dt² :
x(t) = Lo - (mg/k).sin(a) + A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t)
x(o) = Lo
Lo = Lo - (mg/k).sin(a) + B
B = (mg/k).sin(a)
(dx/dt)(0) = Va (avec Va la vitesse de la masse au point A)
A.V(k/m) = Va
A = Va.V(m/k)
x(t) = Lo - (mg/k).sin(a) + Va.racine(m/k).sin(racine(k/m).t) + (mg/k).sin(a).cos(racine(k/m).t)
Tu peux, si tu veux, regrouper les 2 dernier termes pour les mettre sous la formes C.sin(racine(k/m).t + Phi)
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9)
Classique : la force max de friction est égale à la réaction normale du support multiplié par le coefficient de frottement.
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Attention, je n'ai rien relu (comme d'habitude).
Bonjour,
merci déjà de vos réponses.
5) Compris
7) Est vous sûr que vous parleez de la question 7) ? Car vous m'avez donnée la même formule à la question 6)
Sinon pour résoudre l'équation, je comprends mais pourquoi ne faites vous pas apparaitre la phase phi? (Pour les oscillateurs, la solution est X(t)=Acos(wt+phi)
Ha oui, j'ai faillit, oublié.
Pour la question 6) par la méthode de l'énergie cinétique.Quelle relation de conservation me conseillez vous ?
Je pensais Em(A)=Em(t>t1)
Ou puis je faire Em(B)=Em(t>t1) comme ça j'aurais une Ec nulle pour B.
Merci d'avance.
x = A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t)
peut aussi s'écrire: x = C.sin(V(k/m).t + Phi)
On arrive alors à solutions générales de -mg.sin(a) - k.(x-Lo) = m.d²x/dt² :
x(t) = Lo - (mg/k).sin(a) + C.sin(V(k/m).t + Phi)
dx/dt = C.V(k/m).cos(V(k/m).t + Phi))
x(0) = Lo ---> (mg/k).sin(a) = C.sin(Phi)
(dx/dt)(0) = Va ---> C.V(k/m).cos(Phi) = Va
sin(Phi) = (mg/k).sin(a)/C
cos(Phi) = (Va/C)*V(m/k)
On déduit C et Phi de ces 2 relations.
sin²(Phi) + cos²(Phi) = 1
(mg/k)².sin²(a)/C² + Va²/C²*m/k = 1
C² = (mg/k)².sin²(a) + Va²*m/k
C = V[(mg/k)².sin²(a) + Va²*m/k]
Phi = ...
Et en remplaçant C et Phi dans x(t) = Lo - (mg/k).sin(a) + C.sin(V(k/m).t + Phi)
On a une relation donnant x (donc la position) en fonction du temps.
Et ceci répond bien à la question 7.
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Pour l'énergie cinétique question 6.
(1/2).m.VA² + mg.XB.sin(a) = (1/2).k.XB² + (1/2).m.VB²
Avec VB la vitesse de la masse au point B (n'importe où dans le ressort écrasé) et XB l'écrasement du ressort (pas son abscisse) lorsque la masse est au point B.
On peut donc en déduire la vitesse (VB) de la masse en chaque point de position (XB) de la masse.
Voir si cela te convient.
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Et toujours vérifier ce que j'écris...
Bonjour,
merci encore une fois.
Je vais encore vous poser des questions, en espérant que cela ne vous dérange pas trop (je préfère que ce soit bien clair dans ma tête)
Question 5:
Attention :
Ici X représente l'écrasement max du ressort et pas l'abscisse de la masse.
Au moment de l'écrasement max du ressort, le sens de déplacement de la masse change ... et donc la vitesse de la masse à ce point est nul. (et l'énergie cinétique de la masse y est nulle aussi).
Dans la formule (1/2).m.Vo² + mg.X.sin(a) = (1/2).k.X²,
Vo est la vitesse an A (et n'est pas nulle).
Avec des reculs, j'ai eu des doutes. Je suis d'accord que la vitesse est nulle. Pourquoi ne pas avoir ajouter le potentielle de pesanteur ? Est ce que je confond écrasement et abscisse ?
Pour l'énergie cinétique question 6.
(1/2).m.VA² + mg.XB.sin(a) = (1/2).k.XB² + (1/2).m.VB²
Avec VB la vitesse de la masse au point B (n'importe où dans le ressort écrasé) et XB l'écrasement du ressort (pas son abscisse) lorsque la masse est au point B.
On peut donc en déduire la vitesse (VB) de la masse en chaque point de position (XB) de la masse.
Voir si cela te convient
Je crois que vous avez inversé car en B, il n'y a pas de ressort. Je suppose que le membre de gauche représente l'énergie en A.
Pourquoi ne pas avoir mis d'énergie potentielle de pesanteur dans le membre de droite ? La masse m a toute de même son poids et est situé à une certaine altitude.
7) En général, dans un cas basique, la solution d'un oscillateur est A*cos(wt+phi) non ?
L'équation que vous avez trouvé permet de trouver la position de la masse m pour t>t1 ? (t<t1, il n'y a pas de ressort)
Je crois que je fais une confusion entre X écrasement et X abscisse de la masse.
Merci de votre aide
Avec des reculs, j'ai eu des doutes. Je suis d'accord que la vitesse est nulle. Pourquoi ne pas avoir ajouter le potentielle de pesanteur ? Est ce que je confond écrasement et abscisse ?
Mais cela y est.
Le terme "mg.X.sin(a)" du premier membre est égal au travail du poids de la masse entre le point A et le point d'écrasement max du ressort.
Ce travail est (au signe près) la différence des énergies potentielles de pesanteur de la masse entre le point A et le point d'écrasement max du ressort.
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Lorsque j'ai écrit (: 1/2).m.VA² + mg.XB.sin(a) = (1/2).k.XB² + (1/2).m.VB²
Je n'avais pas le dessin sous les yeux.
Mais j'ai quand même clairement indiqué que : "... au point B (n'importe où dans le ressort écrasé)".
Ce n'est donc pas le point B du dessin mais un point qui correspond à la position de la masse lorsque le ressort est en partie écrasé.
Pour être plus clair, il faudrait remplacer B par C dans cette partie de l'exercice dans ce que j'ai écrit.
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