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Mécanique Réaction

Posté par
talvel001 16-08-16 à 14:55

Bonjour à tous !

J'aurais besoin de votre aide pour une question.

On s'intéresse à une bille qu'on assimile à un point matériel M de masse m et à un
ballon fixe dans le référentiel du sol R qu'on assimile, lui, à une sphère de rayon r, de centre O, le centre du repère d'axe (Oy) vertical orienté vers le haut.
On lâche la bille sur le sommet S du ballon avec une vitesse initiales \vec{vo} = vo\vec{u_{x}}.

1) La bille reste en contacte avec le ballon : elle glisse sans frottement. On repère par \theta = (\vec{u_{x}}, \vec{OM}) la position de la bille. Déterminer la réaction \vec{N} en fonction de r,  m, \theta, g.

La solution indique le réponse est N = mg(3sin(\theta ) -2)-\frac{^{v_{0}2}m}{r}. Je n'arrive pas à comprendre pourquoi.
Si vous pouviez m'éclairer... Merci d'avance.

Posté par
vanoisere : Mécanique Réaction 16-08-16 à 15:31

Bonjour
Méthode possible :
appliquer le théorème de l'énergie cinétique à la bille entre l'instant initial et un instant correspondant à la position .
Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la bille et la projeter sur un axe radial (O,\vec{u_r}) où le vecteur \vec{u_r} est colinéaire à \vec{OM}. Sachant que la composante normale de l'accélération est :

\overrightarrow{a_{N}}=-\frac{v^{2}}{r}\overrightarrow{u_{r}}
tu devrais aboutir au bon résultat.

Posté par
talvel001re : Mécanique Réaction 16-08-16 à 16:05

Bonjour,

merci pour ta réponse.

Citation :
Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la bille et la projeter sur un axe radial [...]


Oui c'est ce que j'essaye de faire.
Je trouve : \vec{N}=\begin{pmatrix}N\\ 0\end{pmatrix}      ,\vec{a}=\begin{pmatrix}\frac{^{-v_{0}2}}{r}\\ 0\end{pmatrix} , \vec{P}=\begin{pmatrix}-sin(\theta)  mg\\ -cos(\theta)  mg\end{pmatrix}


m\vec{a}=\vec{N}+\vec{P}

\sin \theta mg - \frac{^{-v_{0}2}m}{r}=N

Où est mon erreur ?

Posté par
talvel001re : Mécanique Réaction 16-08-16 à 16:08

Pour la dernière ligne, c'est -vo² ...., pas - (-vo²).
Je ne sais pas comment éditer un message.

Posté par
vanoisere : Mécanique Réaction 16-08-16 à 16:18

J'ai écrit :
\overrightarrow{a_{N}}=-\frac{v^{2}}{r}\overrightarrow{u_{r}}
mais v2 n'est pas égal à vo2.
Comme je te l'ai déjà dit : il faut exprimer v2 en fonction de vo2, r et en appliquant le théorème de l'énergie cinétique.
Une autre erreur qui n'a pas de conséquence sur le résultat demandé : la composante tangentielle de l'accélération n'est pas nulle (revois ton cours sur le sujet).

Posté par
talvel001re : Mécanique Réaction 16-08-16 à 16:59

Oui bien sur merci beaucoup .....

Donc :

\frac{1}{2}*m*v_{0}^{2}+mgr=\frac{1}{2}*m*v^2+mg*sin(\theta) *r
v^{2}=v_{0}^2+2gr(1-sin(\theta))
On remplace dans la formule de tout à l'heure et on obtient le bon résultat.

Citation :
la composante tangentielle de l'accélération n'est pas nulle


Effectivement. C'est \vec{a}_{T}=\frac{dv}{dt} non ?

Citation :
revois ton cours sur le sujet


Je n'ai pas de cours.


Encore merci de votre aide.

Posté par
talvel001re : Mécanique Réaction 16-08-16 à 17:02

\vec{a}_{T}=\frac{dv}{dt}\vec{u_{\theta}} pardon.

Posté par
vanoisere : Mécanique Réaction 16-08-16 à 19:54

Citation :
\vec{a}_{T}=\frac{dv}{dt}\vec{u_{\theta}} pardon.

C'est cela !
Sous réserve bien sûr d'une orientation correcte du vecteur unitaire...

Posté par
talvel001re : Mécanique Réaction 16-08-16 à 23:15

\vec{u}_{\theta }  =\frac{1}{\dot{\theta }}\dot{\vec{u}}_{r}= \begin{pmatrix} -sin(\theta) \\ cos(\theta) \end{pmatrix}

Vecteur orthogonal à \vec{u}_{r}.

Posté par
vanoisere : Mécanique Réaction 17-08-16 à 10:35

OK !


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