Bonjour,

Je suis actuellement penché sur un petit problème de mécanique quantique et, ayant un peu de mal avec le formalisme, j'aurais besoin de vérifier mes réponses.

L'énoncé est le suivant : "Calculer la valeur moyenne des observables X₁, X₂ et X₃ dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène."


Voilà mes éléments de réponse étape par étape :

1) Dans l'état fondamental, les nombres quantiques valent n = 1, l = 0, m = 0. On note donc l'état du système |ψ_1,0,0>.

2) Comme cela correspond à une orbitale de type s, la symétrie est sphérique. On utilise donc le système de coordonnées éponymes :
x₁ = r sinθ cosφ
x₂ = r sinθ sinφ
x₃ = r cosθ

3) On calcule les <ψ_1,0,0|X_i|ψ_1,0,0>
avec i = 1,2,3

Sans plus détailler les intégrales, je considère que r∈[0 ; +∞], θ∈[0 ; π] et φ∈[0 ; 2π].

<ψ_1,0,0|X₁|ψ_1,0,0> = 0
car l'intégrale de cosφ entre 0 et 2π vaut 0.

<ψ_1,0,0|X₂|ψ_1,0,0> = 0
car l'intégrale de sinφ entre 0 et 2π vaut 0.

<ψ_1,0,0|X₃|ψ_1,0,0> = 0
car l'intégrale de sin(2θ)/2 entre 0 et 2π vaut 0.


En résumé :
<ψ_1,0,0|X_i|ψ_1,0,0> = 0
(i = 1,2,3)

Mon interprétation de la moyenne de 0 pour chacune des composantes est que la valeur moyenne n'est pas forcément atteignable (je verrais mal l'électron se trouver en position 0, sur le noyau, mais je peux me tromper).


Mes interrogations :

- Les résultats vous semblent-ils cohérents et répondent-ils bien à la question initiale ?

- Comment interpréter correctement les résultats ?

- J'ai un peu de mal à distinguer les notions "d'état" et "d'état propre". Peut-on dire que |ψ_1,0,0> est un état propre ?


Je vous remercie par avance !