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Mécanique Quantique (Moments cinétiques)

Posté par
Stylord 17-07-23 à 09:00

Bonjour,
je rencontre quelques difficultés pour un exercice de Mécanique quantique (provenant du cohen),voici l'énoncé.
4. Rotation d'une molécule polyatomique
On considère un système constitué de N particules différentes, de positions
R1, ..., Rm, ..., RN , d'implusions P1, ..., Pm, ..., PN . On pose :
J =L1+L2....+Lm+...LN
avec :
Lm = Rm × Pm
a. Montrer que l'opérateur J satisfait les relations de commutation qui définissent un moment cinétique ; en déduire que, si V et V' désignent deux
vecteurs ordinaires de l'espace à trois dimensions, on a :
[J · V , J · V'] = i*hbarre*(V × V') · J

J'ai résolu la première partie de la question et montré que J satisfait bien aux relations de commutations d'un moment cinétique.
Pour la seconde partie la seule méthode que je vois permettant d'utiliser ses relations est de tout développer en écrivant
J · V=JxVx+JyVy+JzVz .
J · V'=JxV'x+JyV'y+JzV'z

Je me suis occupé en premier des cas [JiVi,JiV'i] (i l'indice pouvant prendre la valeur de x,y ou z) et vérifier que les commutateurs étaient nuls (Il suffit de développer les commutateurs et d'utiliser le fait que [Ji,Vi]=0 [Ji,V'i]=0(Car la composante d'un vecteur par rapport à un axe est invariante par rotation autour de ce même axe) et [Vi,V'i]=[Vi,V'j]=[Vi,Vj]=0 Car les vecteurs sont indépendants.
Il reste donc 6 commutateurs à calculer (Je vais détailler le calcul pour 2 afin que vous voyez comment j'ai fais et que vous me dites d'il y' a une erreur).
Soit [JxVx,JiV'i] i pouvant prendre la valeur de y ou z
On développe le commuateur
[JxVx,JiV'i]=[JxVx,Ji]V'i+Ji[JxVx,V'i]
[JxVx,Ji]=Jx[Vx,Ji]+[Jx,Ji]Vx
[JxVx,V'i]=[Jx,V'i]Vx
Donc
[JxVx,JiV'i]=(Jy[Vy,Ji]+[Jy,Ji]Vy)V'i+Ji[Jy,V'i]Vy (1)
Je rappelle les relations de commutations auxquelles obéissent le moment cinétique
[Jx,Jy]=ihbarreJz
[Jy,Jz]=ihbarreJx
[Jz,Jx]=ihbarreJy
De même d'après le complément BVI p739 du cohen tanoudji on a pour n'importe quel observable vectoriel V
[Vx,Jy]=ihbarreVz
[Vy,Jz]=ihbarreVx
[Vz,Jx]=ihbarreVy
Donc en prenant i=y dans (1), on a
[JxVx,JyV'y]=ihbarre(JxVzV'y+JzVxV'y+JyV'zVx)
et i=z
[JxVx,JzV'z]=-ihbarre(JxVyV'z+JyVxV'z+JzV'yVx) (2)
Les autres commutateurs s'obtiennent en remplacant l'indice x par y ou z dans (1) et en réitérant le raisonnement.
Ainsi en additionnant tous ces commutateurs
j'obtiens[J · V , J · V']=ihbarre(Jx(Vy'Vz-VyV'z)+Jy(VxV'z-VzV'x)+Jz(V'xVy-V'yVx))=-ihbarreJ ·(V × V') =ihbarre(V × V') ·J (Car j'ai vérifié que Jx commute avec la composante selon x de V × V' et pareil pour les autres composantes).
J'ai donc un signe moins par rapport à la relation de l'énoncé et après moult vérifications je n'arrive pas à savoir pourquoi, si vous avez une idée merci d'avance !

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 17-07-23 à 09:01

De plus s'il y avait une erreur on pourrait le voir dès la relation (2) car le terme -JxVyV'z y apparait.

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 17-07-23 à 09:04

De plus s'il y avait une erreur on pourrait le voir dès la relation (2) car le terme -JxVyV'z y apparait.

Stylord @ 17-07-2023 à 09:00

Bonjour,
je rencontre quelques difficultés pour un exercice de Mécanique quantique (provenant du cohen),voici l'énoncé.
4. Rotation d'une molécule polyatomique
On considère un système constitué de N particules différentes, de positions
R1, ..., Rm, ..., RN , d'implusions P1, ..., Pm, ..., PN . On pose :
J =L1+L2....+Lm+...LN
avec :
Lm = Rm × Pm
a. Montrer que l'opérateur J satisfait les relations de commutation qui définissent un moment cinétique ; en déduire que, si V et V' désignent deux
vecteurs ordinaires de l'espace à trois dimensions, on a :
[J · V , J · V'] = i*hbarre*(V × V') · J

J'ai résolu la première partie de la question et montré que J satisfait bien aux relations de commutations d'un moment cinétique.
Pour la seconde partie la seule méthode que je vois permettant d'utiliser ses relations est de tout développer en écrivant
J · V=JxVx+JyVy+JzVz .
J · V'=JxV'x+JyV'y+JzV'z

Je me suis occupé en premier des cas [JiVi,JiV'i] (i l'indice pouvant prendre la valeur de x,y ou z) et vérifier que les commutateurs étaient nuls (Il suffit de développer les commutateurs et d'utiliser le fait que [Ji,Vi]=0 [Ji,V'i]=0(Car la composante d'un vecteur par rapport à un axe est invariante par rotation autour de ce même axe) et [Vi,V'i]=[Vi,V'j]=[Vi,Vj]=0 Car les vecteurs sont indépendants.
Il reste donc 6 commutateurs à calculer (Je vais détailler le calcul pour 2 afin que vous voyez comment j'ai fais et que vous me dites d'il y' a une erreur).
Soit [JxVx,JiV'i] i pouvant prendre la valeur de y ou z
On développe le commuateur
[JxVx,JiV'i]=[JxVx,Ji]V'i+Ji[JxVx,V'i]
[JxVx,Ji]=Jx[Vx,Ji]+[Jx,Ji]Vx
[JxVx,V'i]=[Jx,V'i]Vx
Donc
[JxVx,JiV'i]=(Jy[Vy,Ji]+[Jy,Ji]Vy)V'i+Ji[Jy,V'i]Vy (1)
Je rappelle les relations de commutations auxquelles obéissent le moment cinétique
[Jx,Jy]=ihbarreJz
[Jy,Jz]=ihbarreJx
[Jz,Jx]=ihbarreJy
De même d'après le complément BVI p739 du cohen tanoudji on a pour n'importe quel observable vectoriel V
[Vx,Jy]=ihbarreVz
[Vy,Jz]=ihbarreVx
[Vz,Jx]=ihbarreVy
Donc en prenant i=y dans (1), on a
[JxVx,JyV'y]=ihbarre(JxVzV'y+JzVxV'y+JyV'zVx)
et i=z
[JxVx,JzV'z]=-ihbarre(JxVyV'z+JyVxV'z+JzV'yVx) (2)
Les autres commutateurs s'obtiennent en remplacant l'indice x par y ou z dans (1) et en réitérant le raisonnement.
Ainsi en additionnant tous ces commutateurs
j'obtiens[J · V , J · V']=ihbarre(Jx(Vy'Vz-VyV'z)+Jy(VxV'z-VzV'x)+Jz(V'xVy-V'yVx))=-ihbarreJ ·(V × V') =-ihbarre(V × V') ·J (Car j'ai vérifié que Jx commute avec la composante selon x de V × V' et pareil pour les autres composantes).
J'ai donc un signe moins par rapport à la relation de l'énoncé et après moult vérifications je n'arrive pas à savoir pourquoi, si vous avez une idée merci d'avance !

Posté par
kamikazre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 17-07-23 à 21:52

Salut, peut être bien écrire l'énoncé, tu aurais plus de chance d'avoir de l'aide.

Rotation d'une molécule polyatomique

On considère un système constitué de N particules différentes, de positions R_1, \dots, R_m, \dots, R_N , d'implusions P_1, \dots, P_m, \dots, P_N.

On pose :

J = L_1 + L_2 + \dots + L_m + \dots +L_N avec : L_m = R_m \times P_m.

a) Montrer que l'opérateur J satisfait les relations de commutation qui définissent un moment cinétique.

b) En déduire que, si \vec{V} et \vec{V'} désignent deux vecteurs ordinaires de l'espace à trois dimensions, on a : [J \cdot \vec{V}, J \cdot \vec{V'}] = i \overline{h}(\vec{V} \times \vec{V'}) \times J.

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 14:47

Bonjour,
Merci pour le conseil !

Posté par
kamikazre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 15:37

Pour démontrer que l'opérateur J satisfait les relations de commutation qui définissent un moment cinétique, nous devons montrer que les composantes de J obéissent aux relations de commutation du moment angulaire.

Soit J_i la i-ème composante de \mathbf{J}. La relation de commutation générale pour deux composantes du moment angulaire est donnée par :

[J_i, J_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} J_k,

où \epsilon_{ijk} est le symbole de Levi-Civita, \hbar est la constante de Planck réduite, et i, j, k prennent des valeurs de 1 à 3 pour les trois dimensions de l'espace.

Maintenant, il faut examiner la m-ème composante de J, J_m = R_m \times P_m. Ici, \times représente le produit vectoriel entre les vecteurs R_m et P_m.

Il faut prendre i et j pour représenter les composantes de R_m et P_m, respectivement. Ainsi, J_i = R_{mi} et J_j = P_{mj}.

Maintenant, tu peux calculer  [J_i, J_j] :

[J_i, J_j] = [R_{mi}, P_{mj}] = \dots.

En utilisant les propriétés du produit vectoriel, il faut réarranger cette expression que tu trouves :

[J_i, J_j] = \dots.

Ensuite une identité qui pourrait t'aider est ;

(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}.

En utilisant cette identité, tu pourrais réécrire le commutateur :

[J_i, J_j] = \dots.

Ensuite utilises une autre identité vectorielle : \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}).

[J_i, J_j] = \dots.

Maintenant, tu pourras faire des remarques du genre R_{mi} \cdot (R_{mi} \times P_{mj}) est nul puisque le produit vectoriel de R_{mi} avec lui-même est nul. De même, P_{mj} \cdot (R_{mi} \times P_{mj}) est nul car le produit vectoriel de P_{mj} avec lui-même est nul.

Par conséquent, réduire certains termes à zéro.

Ainsi,

[J_i, J_j] = \dots.

On pourra identifier [J_i, J_j] comme étant égal à J_k, où k est l'indice correspondant à la composante résultante. (À justifier)

Par conséquent :

[J_i, J_j] = J_k.

Ce résultat devrait correspondre exactement à la relation de commutation du moment angulaire :

[J_i, J_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} J_k.

On aura montré que l'opérateur J satisfait les relations de commutation du moment cinétique.

Pour la deuxième partie

On veut montrer que :

[J \cdot \vec{V}, J \cdot \vec{V'}] = i\hbar (\vec{V} \times \vec{V'}) \times J.

Ici, \vec{V} et \vec{V'} sont des vecteurs ordinaires de l'espace à trois dimensions.

Il faut développer le commutateur en utilisant la définition du produit vectoriel :

[J \cdot \vec{V}, J \cdot \vec{V'}] = J \cdot \vec{V} \times (J \cdot \vec{V'}) - (J \cdot \vec{V'}) \times J \cdot \vec{V}.

Ensuite utiliser les propriétés du produit vectoriel et du produit scalaire pour réarranger cette expression.

[J \cdot \vec{V}, J \cdot \vec{V'}] = \dots.

On aura démontré que [J \cdot \vec{V}, J \cdot \vec{V'}] = i\overline{h}(\vec{V} \times \vec{V'}) \times J

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 16:10

Pour la première question j'ai fait quelque chose de similaire et je vous remercie pour votre proposition !
Pour la deuxième question j'avais envisagé une autre méthode, soit

[J · V,J ·V']=[J ·V,J ·V']
[J · V,J ·V']=(J·V)(J·V')-(J·V')(J·V)
J'avais pensé utilisé l'identité vectorielle
(A x B)·(C x D)=(A·C)(B·D)-(A·D)(B·C)
Mais je me demandais si celle-ci était toujours valable pour des observables qui en commutent pas nécessairement, est-ce ainsi le cas ?
En supposant que ca l'est on a :
[J · V,J ·V']=(J x J)·(V x V')
Or d'après la question 1 J x J=ihbarreJ
Ce qui donnerait le bon résultat

Posté par
kamikazre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 16:30

Oui mais il me semble que la formule que tu proposes est en effet valable pour les vecteurs ordinaires, mais elle ne peut pas être directement appliquée aux opérateurs dans le cadre de la mécanique quantique, car les opérateurs peuvent ne pas commuter.

Dans le cas général où \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} et \mathbf{D} sont des opérateurs qui ne commutent pas, il n'est pas possible d'appliquer directement cette identité vectorielle. Les opérations sur les observables dans la mécanique quantique doivent prendre en compte les règles de commutation appropriées pour les opérateurs.

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 16:34

Dans ce cas on est contraint de passer par un calcul direct,étant donné qu'on ne peut utiliser quasiment aucune formule d'analyse vectorielle ?

Posté par
kamikazre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 16:47

Oui

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 16:50

Ok, c'est ce que j'avais commencé à faire mais j'obtiens un signe - par rapport au résultat donné dans l'énoncé.

Posté par
kamikazre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 16:56

Peut-être vérifier les calculs, ou bien les écrire pour qu'on puisse t'aider..

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 17:11

Ok je réecris ,soit k et i des indices pouvant prendre la valeur de x,y ou z
J'utilise la formule du double produit vectoriel
[AB,C]=[A,B]C+B[A,C]
[JkVk,JiV'i]=[JkVk,Ji]V'i+Ji[JxVx,V'i]
[JkVk,Ji]=Jk[Vk,Ji]+[Jk,Ji]Vk
[JkVk,V'i]=[Jk,V'i]Vk
Donc
[JkVk,JiV'i]=(Jk[VkJi]+[Jk,Ji]Vy)V'i+Ji[Jk,V'i]Vk (1)
Je rappelle les relations de commutation entre les composantes du moment cinétique
[Jx,Jy]=ihJz
[Jy,Jz]=ihJx
[Jz,Jx]=ihJy
Pour tout observable vectoriel A (V et V' sont des observables vectorielles) on a
[Vx,Jy]=ihVz
[Vy,Jz]=ihVx
[Vz,Jx]=ihVy

En reprenant (1) et en remplacant k par x et i par z
j'obtiens
[JxVx,JzV'z]=-ih(JxVyV'z+JyVxV'z+JzV'yVx)
Y a t-il une erreur dans ce calcul ? (J'ai appliqué exactement la même démarche pour les 5 autres commutateurs)

Posté par
Stylordre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 18-07-23 à 17:14

Pardon il y a quelques étourderies, je corrige ici

Stylord @ 18-07-2023 à 17:11

Ok je réecris ,soit k et i des indices pouvant prendre la valeur de x,y ou z
J'utilise la formule du double produit vectoriel
[AB,C]=[A,B]C+B[A,C]
[JkVk,JiV'i]=[JkVk,Ji]V'i+Ji[JkVk,V'i]
[JkVk,Ji]=Jk[Vk,Ji]+[Jk,Ji]Vk
[JkVk,V'i]=[Jk,V'i]Vk
Donc
[JkVk,JiV'i]=(Jk[VkJi]+[Jk,Ji]Vk)V'i+Ji[Jk,V'i]Vk (1)
Je rappelle les relations de commutation entre les composantes du moment cinétique
[Jx,Jy]=ihJz
[Jy,Jz]=ihJx
[Jz,Jx]=ihJy
Pour tout observable vectoriel A (V et V' sont des observables vectorielles) on a
[Vx,Jy]=ihVz
[Vy,Jz]=ihVx
[Vz,Jx]=ihVy

En reprenant (1) et en remplacant k par x et i par z
j'obtiens
[JxVx,JzV'z]=-ih(JxVyV'z+JyVxV'z+JzV'yVx)
Y a t-il une erreur dans ce calcul ? (J'ai appliqué exactement la même démarche pour les 5 autres commutateurs)

Posté par
kamikazre : Mécanique Quantique (Moments cinétiques) 19-07-23 à 17:32

Je ne vois pas d'erreur aussi..


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