Niveau maths spé

Mécanique quantique

Posté par
Gune 09-10-22 à 22:47

Bonjour,

On a une particule quantique d'énergie mécanique E qui évolue dans un potentiel indépendant du temps V(x) et il faut trouver les fonctions d'onde solution de l'équation de schrodinger monodimensionnelle indépendante du temps.

la fonction d'onde s'écrit F(x,t)= f(t)*g(x).

Bon par séparation des variables on peut montrer que ih/2*f'(t)/f(t) = A

A étant une constante homogène à une energie.

Comment montrer que A=E ? Je ne comprends pas bien les relations ondes-particules (entre pulsation, énergie, vecteur d'onde, vitesse de groupe...).
Qu'est ce qui relève de la définition et qu'est ce qui relève de conséquences ?

Posté par re : Mécanique quantique 09-10-22 à 23:01

Bonjour
L'équation de Schrödinger ne se démontre pas mais se justifie par l'ensemble de ses conséquences expérimentales. C'est comme si tu demandais de démontrer les lois de Newton qui sont les bases de la mécaniques classiques.
Sinon, difficile de te conseiller sans connaître les exigences de ton programmes. Voici deux documents assez intéressants, le second étant d'un niveau un peu supérieur.

Posté par re : Mécanique quantique 10-10-22 à 03:29

Oui je sais que l'équation est un postulat mais ce n'était pas la question.
Dans les 2 documents, ma question est passée sous silence.

Je note h la constante de planck réduite.

Voici le cours à ma façon :

On se met en 1 dimension avec un potentiel nul partout, et on cherche à trouver les fonctions d'ondes d'un système quantique libre en état stationnaire.

La définition même d'un état stationnaire est que F(x,t) = g(x)*f(t)

Injectons cette forme dans l'équation, puis divisons par g(x)*f(t) :

ih*dF/dt = - ih²/2m*d²F/dx²
ihf'(t)/f(t) = -h²/2m g''(x)/g(x) (1)

Ceci étant vrai à tout instant et à toute position, un membre étant indépendant de x et l'autre de t, ces 2 membres sont constants. Appelons -E cette constante.

Alors ih*f'(t)=-E*f(t) => f(t) = K exp(-iE/ht)

Posons E/h = w et, quitte à "faire rentrer" la constante K dans g, prenons K=1. (Ceci impose à g d'être normalisée).

Reprenons l'équation (1) en y injectant la forme de f(t) :

h²/2m*g''(x) + E*g(x) = 0
g''(x) + 2mw/h*g(x) = 0

Si w<0, g diverge et les solutions ne sont physiquement pas acceptables.
Si w=0, g(x) = Ax + B, A=0 sinon ça diverge, et B=0 sinon c'est pas normalisable. Donc sans intérêt.

Si w>0 F(x,t) = ) = Aexp( i(kx - wt) ) + B exp( -i(kx +wt) )

avec k = (2mw/h)^1/2

Cette solution non plus n'est pas normalisable, mais on peut lui donner une interprétation statistique avec un certain nombre de particules (donc si j'ai compris, dans cette inteprétation, la fonction d'onde décrit le système composé de toutes les particules, et est égale à la somme des fonctions d'ondes des particules individuelles ?), ou dire qu'il s'agit d'une solution idéale d'un paquet d'onde quasi monochromatique, comme pour les ondes électromagnétiques.

Donc les états stationnaires d'une particule quantique sont décrits par une fonction d'onde en OPPH. On peut justifier la définition initiale du fait que |F(x,t)|=|g(x)| : la densité de probabilité de présence est donc indépendante du temps.

Bon, ici, on a défini la pulsation w et le vecteur d'onde k (en disant que le vecteur c'est k*vecteur unitaire dans la direction de propagation) en fonction de E.
E qui est sensé être, je sais pas comment, l'énergie mécanique du système.

Ensuite on définit encore la vitesse de phase v=w/k, puis pour un paquet d'onde quasi monochromatique la vitesse de groupe, avec des calculs un peu chiants.

Maintenant on raisonne sur un paquet d'onde, et k w etc. correspondent maintenant à leurs moyenne (qu'on devrait noter k₀ etc.)
On définit :
=2/k
p = h/ (ici h = constante de planck non réduite)

Et puis là je comprends pas trop comment on fait le lien entre une onde et une particule, on dit que p est la quantité de mouvement de la particule (d'où ça sort ? la relation de De Broglie est-elle un postulat ?), et en bidouillant la relation de dispersion, on se retrouve avec E=hw=p²/2m, et maintenant qu'on a admis que p était la quantité de mouvement, p²/2m est donc par définition l'énergie cinétique de la particule (et donc l'énergie mécanique puisqu'elle n'a pas de potentiel).

Les notions d'énergie mécanique et de quantité de mouvement me paraissent purement classiques et inapplicables à une particule quantique.

Posté par re : Mécanique quantique 10-10-22 à 12:37

Tu poses à plusieurs reprises : d'où cela vient-il ? On peut, je pense, partir d'expériences qui conduisent aux relations que tu étudies. La généralisation de ces relations étant alors postulée puis validée par l'ensemble des conséquences expérimentales. Sans trop développer :

Concernant la lumière et plus généralement les ondes électromagnétiques :

1° : effet photoélectrique : son étude conduit à admettre l'existence de photon en tant que quantum d'énergie $E=h.\nu=h\cdot\frac{c}{\lambda}=\hbar.\omega$ ;

2° : effet Compton : le photon possède une impulsion $p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h.\nu}{c}=\frac{E}{c}=\hbar.k$

Concernant une particule : de nombreuses expériences montrent que les particules peuvent avoir un comportement ondulatoire (expériences de diffraction, expérience de Davisson et Germer...). De Broglie postule qu'il est possible de lui associer une onde de longueur d'onde vérifiant la même formule que pour le photon : $\lambda=\frac{h}{p}$ . Dans le cas d'un mouvement unidirectionnel, cela donne : $p=\hbar.k$ , comme pour le photon.

Toujours pour la particule en mouvement unidirectionnel mais en supposant la particule libre (V=0) : il est possible de la décrire par une fonction d'onde. On continue l'analogie avec l'onde plane de direction de propagation confondue avec l'axe des x. Pour cette onde plane :

$\Psi=\Psi_{o}.e^{i(k.x-\omega.t)}$

$k=\frac{p}{\hbar}\quad;\quad\omega=\frac{E}{\hbar}$ d'où la fonction d'onde associée à la particule :

$\Psi=\Psi_{o}.e^{i(\frac{p}{\hbar}\cdot x-\frac{E}{\hbar}\cdot t)}$

En dérivant cette fonction d'onde :

$i\hbar\cdot\frac{\partial\Psi}{\partial t}=E.\Psi\quad;\quad-\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}=\frac{p^{2}}{2m}\cdot\Psi$

Pour la particule libre , l'énergie se réduit à l'énergie cinétique. Si la particule n'est pas relativiste : $E=\frac{p^{2}}{2m}$ . D'où l'équation de Schrödinger dans ce cas particulier:

$i\hbar\cdot\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}$

Il s'agit donc de partir d'analogie et de postuler les généralisations.