Niveau licence

mécanique quantique

Posté par
Rabbb 21-12-18 à 15:10

Bonjour,

j'ai quelques questions sur le formalisme quantique.

1) On se place dans un espace de Hilbert dont la base orthonormée est formée des vecteurs ket(_n,l) avec n et l des entiers naturels et l'on considère une observable Â qui agit sur l'espace de Hilbert.
Quel est le lien entre les deux propositions ? :
a) pour tous n, l Â ket(_n,l) = a_n ket(_n,l)
b) Â = $\sum_{n}^{}{a_n\sum_{n}^{}{}}$ (ket (_n,l))(bra (_n,l))
Est-ce qu'elles sont toujours vraies ? Est-ce que l'une implique l'autre, ou sont-elles équivalentes ?

La première signifie bien que les ket(_n,l) sont les vecteurs propres de Â associés aux valeurs propres a_n. Donc on peut écrire Â en la décomposant dans le base des vecteurs propres mais je suis un peu perturbé avec la somme sur l...

2) Si un système est dans un état ket(psi) sur lequel on fait une mesure avec l'observable Â, quel résultat obtient-on ? Dans le cours, il y a écrit qu'il s'agit de ket(psi)Âbra(psi), mais pour moi, cela correspond à la valeur moyenne de Â... Je ne comprends pas très bien ce concept.

Merci par avance pour vos lumières ^^

Posté par re : mécanique quantique 21-12-18 à 15:11

Je rectifie une erreur sur la deuxième somme : on somme sur l et non sur n

Posté par re : mécanique quantique 11-03-19 à 14:18

Bonjour,

1)
$A|\varphi_{nl}>=a_n|\varphi_{nl}>$
cette équation veut dire que l'observable $A$ a pour valeurs propres $a_n$ et pour vecteurs propres $|\varphi_{nl}>$ . La présence de l'indice $l$ signifie que les valeurs propres sont dégénérées ie: plusieurs états différents donne la même valeur propre pour l'observable $A$ .

Puisque $A$ est une observable,
on peut la décomposer sur la base de ses vecteurs propres:
$A=\sum_{nl} a_n|\varphi_{nl}><\varphi_{nl}|$

On peut alors vérifier facilement la première équation:
$A|\varphi_{nl}>=\sum_{ij}a_i|\varphi_{ij}><\varphi_{ij}|\varphi_{nl}>$
                   $= \sum_{ij}a_i|\varphi_{ij}>\delta_{in}\delta_{jl}$
                   $= a_n |\varphi_{nl}>$

2) pour la deuxième question, lorsque l'on fait la mesure d'un état selon une certaine observable, les seuls résultats possibles sont simplement les valeurs propres de cette observable.

la valeur moyenne de $A$ dans l'état $|\psi>$ s'écrit:
$<A>_{|\psi>}=<\psi|A|\psi>$

Après, ce qui est souvent le plus intéressant est de savoir avec quelle probabilité obtient on ces valeurs propres:
$P(a_n)=\sum_{l=1}^{g_n} \abs{<\varphi_{nl}|\psi>}}$               avec $g_n$ le facteur de dégénérescence.

Voila j'espère avoir répondu à tes questions.

Bonne journée