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Mecanique quantique

Posté par
bissinyandoup 10-10-17 à 19:45

Bonsoir!
S'il vous plait j'ai rencontré un probleme sur cet exercice.
On me demande de calculer
Rb=ed a partir de la constante de planck.
Le domaine d'integration est D=[0, +

Posté par
bissinyandoupre : Mecanique quantique 10-10-17 à 19:59

Bon je sais que la densite e=2hc2/5*1/(ehc/kT-1)d selon planck.  En posant x=hc/kT,  tout calcul bien fait me donne
Rb=2k4T4/h3c2x3/(e-x-1)dx. le domaine etant [0, +[
Pour resoudre l'integrale,  je sais que qn=q/(1-q)  avec n=1 et -1q1. Apres transformation,  j'obtient
x3/(e-x-1)dx=x3e-nxdx=61/n4. Je suis bloqué a ce niveau.  De l'aide s'il voys plait.

Posté par
diracre : Mecanique quantique 10-10-17 à 20:26

Hello

\Sigma_{n\ge 1} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}

Ce résultat s'obtient par décomposition en série de Fourier de diverses fonctions périodiques (f(x) =x^2  par exemple, de mémoire)

Tu en trouveras la démonstration assez facilement sur internet. Mais bien sûr, si nécessaire, je prendrai (où un autre) le temps un plaisir de re-démontrer le résultat ici.

Posté par
bissinyandoupre : Mecanique quantique 10-10-17 à 20:39

Dirac j'ai vraiment besoin de cette demontration.  S'il te plait.

Posté par
diracre : Mecanique quantique 11-10-17 à 14:22

Désolé, pour le temps de réponse (pas un calcul que je fais tous les jours, donc j'ai du trouver le temps de le faire au brouillon d'abord )

Soit f  la fonction périodique de période 2\pi qui prend sur l'intervalle [-\pi,+\pi] la valeur f(x) = x^2

La décomposition de f en série de Fourier est:

f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(f) e^{-2i\pi \frac{n}{T}x}

Avec

c_n(f)=\frac{1}{T}\int _{-T/2}^{+T/2}f(t) e^{-2i\pi \frac{n}{T}t}dt

Soit ici:

c_n=\frac{1}{2\pi}[\int _{-\pi}^{+\pi}t^2 cos(2\pi \frac{n}{T}t)dt - i\int _{-\pi}^{+\pi}t^2 sin(2\pi \frac{n}{T}t)dt]

c_0=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^{+\pi}t^2 dt = \frac{\pi^2}{3}

Et pour  n \ge 1 , il est clair que  \int _{-\pi}^{+\pi}t^2 sin(2\pi \frac{n}{T}t)dt = 0, soit alors:

c_n=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^{+\pi}t^2 cos(2\pi \frac{n}{T}t)dt

Histoire, de ne pas être le seul à travailler, peux tu ici "reprendre la main" et faire le calcul de c_n (indication: tu fais 2 fois de suite une intégration par parties)

A toi ... bien sûr si tu peines, on t'aidera

Posté par
bissinyandoupre : Mecanique quantique 11-10-17 à 15:03

Merci

Posté par
diracre : Mecanique quantique 11-10-17 à 18:42

Je poursuis donc, histoire de nous assurer donc que le problème est complètement résolu:

c_n=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^{+\pi}t^2 cos(2\pi \frac{n}{T}t)dt

avec T = 2\pi (je ne sais pourquoi j'ai laissé trainer T dans l'expression)

Donc:

c_n=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^{+\pi}t^2 cos(nt)dt

Avec une double intégration par partie:

c_n=[\frac{t^2}{n}sin(nt)]_{-\pi}^{+\pi} - \frac{1}{n\pi}([tcos(nt)]_{-\pi}^{+\pi}  + \int _{-\pi}^{+\pi}\frac{1}{n} cos(nt)dt)

Les 1er et 3eme termes sont évidemment nuls  

Donc en final   c_n = (-1)^n\frac{2}{n^2}

Soit en ré-injectant dans la série de Fourier:

f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(f) e^{-inx}  = \frac{\pi^2}{3} +\sum _{n \ge 1} (-1)^n\frac{2}{n^2}(cos(nx) -isin(nx)) +\sum _{n \le -1} (-1)^n\frac{2}{n^2}(cos(nx) -isin(nx))  

En remarquant alors que f(x) = f(-x)   (il était temps!), on arrive à:

f(x)= \frac{\pi^2}{3} +\sum _{n \ge 1} (-1)^n\frac{4}{n^2}cos(nx)


Arrivé là j'espère que tu suis toujours, parce que l'on arrive à la 2nde difficulté de cette "ascension" .

1) Peux tu calculer f(0)  et  f(\pi)  

2) Puis faire référence au Théorème de Parseval afin d'exprimer \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}t^4dt

A toi?

(Eh ... on se croirait sur l'île des maths   ,  mais bon il ne fallait pas appeler ton sujet "mécanique quantique" où les maths sont souvent appelés à la rescousse quand le bon sens ne sert plus à rien   )

Posté par
diracre : Mecanique quantique 12-10-17 à 05:34

Parseval nous dit:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}\vert f(t)\vert^2dt =  \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\vert c_{n}(f) \vert^2

Donc ici  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}t^4dt  = \frac{\pi^4}{9} + 2\sum_{n\ge 1}\frac{4}{n^4}

Soit    \frac{1}{2\pi}\frac{2\pi^5}{5} = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^4}

Et donc pour finir \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}

Ceci te permet donc de retrouver la valeur de la constante de Stefan Boltzmann:

Dont on se dit arrivé là qu'il veut mieux simplement retenir sa valeur (\sigma =5,670 .10^{-8} Wm}^{-2}K^{-4} ) et passer à autre chose

Posté par
bissinyandoupre : Mecanique quantique 13-10-17 à 21:30

Merci dirac


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