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Mécanique quantique
Bonjour,
J'ai un exercice de mécanique quantique qui me pose des problèmes...
Je vous donne le sujet :
On considère un système physique dont l'espace des états à trois dimensions esr rapporté à la base orthonormée (|
1>,|2>,|3>). Dans la base définie par ces trois vecteurs, les deux opérateurs H et B sont définis par :
où w0 et b sont des constantes réelles.
1) Montrer que H et B commutent. Donner une base de vecteurs propres communs à H et B.
J'ai réussi la première partie de la question car H.B-B.H=0. Maispour la base de vecteurs propres je bloque...
2) Quels sont, parmi les ensembles d'opérateurs (H), (B), (H,B), (H2,B), ceux qui forment un E.C.O.C.?
J'ai bien la définition d'un E.C.O.C. mais je bloque aussi...
Définition : Un ensemble d'obsevables (A,B,C...) est appelé "Ensemble Complet d'Observables qui commutent" (E.C.O.C.) si :
- Toutes les obsevables A,B,C... commutent deux à deux.
- La donnée des valeurs propres de tous les opérateurs A,B,C... suffit à déterminer une base commune de vecteurs propres.
Demanière équivalente, un ensemble d'observables (A,B,C...) constitue un E.C.O.C. s'il existe une base orthonormée de vecteurs propres communs, et si cette base est unique.
3) Soient les opérateurs définis par :
- Les opérateurs Lz, Lz2, S et S2 sont-ils des observables?
- Donner la forme le plus générale représentant un opérateur M commutant avec Lz, Lz2, S et S2.
- Lz2 et S forment-ils un E.C.O.C.? Donner une base de vecteurs propres communs.
Là je bloque complétement.
Meric pour votre aide
salut je peux au moins t'aider un peu pour le début. Tu as fait en maths un chapitre sur la diagonalisation de matrices ?
Bonjour,
Ici, même pas besoin de savoir diagonaliser. Il suffit de connaitre ses définitions.
1) On rappelle que deux opérateurs A et B commutent ssi : [A,B] = AB - BA = 0. De plus, on peut préciser que b et wo ne sont pas nulles car les opérateurs n'auraient plus aucun sens physique.
Ici, B = H*b/(h*wo). Donc, [H,B] = HB-BH = b/(h*wo)*(H²-H²) = 0 CQFD.
Ensuite, la base des vecteurs propres est évidente si on sait ce que c'est un vecteur propre. Je te rappelle que f est un vecteur propre de A (endomorphisme de Mn(K)) s'il existe l dans K tel que : Af = lf.
Or, B = H*b/(h*wo). Donc, Bf = Hf*b/(h*wo).
Si f est vecteur propre de H, Hf = lf. ==> Bf = l*b/(h*wo)*f ===> f est aussi vecteur propre de B.
De plus, la matrice de H est diagonale dans sa base d'origine. Donc, cette base est aussi une base de vecteurs propres.
2) Les deux premières sont des ECOC car la base initiale est orthonormée.
(H,B). On a montré que la base initiale était une base orthonormale de vecteur propre commune aux deux opérateurs. Donc, (H,B) est un ECOC. Et l'unicité est assurée par le théorème du rang.
La dernière, il faut calculer H² = h²wo²*Id3 dans la base initiale. Là encore, on conserve la base initiale qui est orthonormée et aussi base de vecteurs propres aux deux opérateurs. Et l'unicité est assuré par le théorème de rang.
3) J'aimerais que tu y réfléchisses un peu.
effectivement pas besoin de diagonaliser puisqu'elles y sont déjà mais c'est généralement dans ce chapitre qu'on apprend ce qu'est un vecteur propre ^^
Normalement, la réduction des endomorphismes est faite en maths avant de commencer la mécu Q, non ? En tout cas, quand on fait une prépa, c'est la cas. Après, en fac, j'imagine que c'est pas forcément le cas.
Je viens d'IUT et ensuite je suis allé directement en L3 d'où mes lacunes sur certains points. Vos indications m'aides. J'avance quand même dans l'exercice pas à pas. Je m'aide aussi de bouquins en parallèle mais si vous avez d'autres indications ou conseils je suis preneur surtout que c'est apparemment un exercice type.
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