Niveau maths sup

Mecanique, puissance

Posté par
Benjam75 14-01-19 à 21:43

Bonjour je bloque à une question d'un exercice: Une voiture (m =1200 kg) se trouve initialement immobile à l'origine O d'une route horizontale Ox. A la date t=0,le conducteur allume le moteur. Celui-ci exerce alors sur la voiture la force motrice F=-F(ux), On donne P=75kW cette force (i.e. la puissance du moteur) Les frottements de l'air sont de norme kmv^2 avec k une constante positive

1°) Exprimer F en fonction de P et v où v est la vitesse instantanée de la voiture.
J'ai P=(f.dr)/dt=(F(ux).dx(ux))/dt=Fdx/dt=Fv d'ou F=P/v

2) Par application du PFD , déterminer dv/dt du puis dv/dx en fonction de P,k, m et v
Pour dv/dt,
J'ai: ma=F-kmv^2 d'ou a=(F/m)-kv^2=P/(m^2v)-kv^2=dv/dt
puis dv/dx=(dv/dt)/(dx/dt)=a/v= P/(m^2v^2)-kv

3°) En déduire x en fonction de P,k, m et v.

Et la je bloque, je ne sais pas si j'ai faux avant ou si il y a quelque chose que je ne vois pas mais je ne sais quoi faire pour deduire quelque chose de cette relation, merci de votre aide

Posté par re : Mecanique, puissance 14-01-19 à 21:49

J'ai pensé a isoler dx et integrer et je trouver x=-P/(m^2v)-1/2kv^2+C mais je ne sais pas comment trouver c

Posté par re : Mecanique, puissance 14-01-19 à 21:51

Surtout que la voiture est censé aller vers l'avant...

Posté par re : Mecanique, puissance 14-01-19 à 22:36

Bonjour
L'axe des abscisses étant orienté dans le sens du mouvement et en supposant la puissance motrice P fixe, on obtient :

$\frac{dv}{dt}=\frac{P}{m.v}-k.v^{2}$

Ton raisonnement pour passer à la dérivée par rapport à x me semble correct, cela conduit à :

$\frac{dv}{dx}=\frac{P}{m.v^{2}}-k.v$

L'idée de séparer les variables est excellente mais ne conduit pas à ton résultat :

$dx=\frac{dv}{\dfrac{P}{m.v^{2}}-k.v}$

Par intégration :

$x=\int\dfrac{m.v^{2}}{P-m.k.v^{3}}\cdot dv$

L'intégration est plus simple qu'elle n'en a l'air... La constante d'intégration s'obtient à partir des conditions initiales : x=0 si v=0.

Posté par re : Mecanique, puissance 14-01-19 à 22:45

Ah oui merci j'ai fait deux erreurs une en rajoutant un m de nul part et l'autre venait du fait que j'ai confondu dx/dv et dv/dx... merci beaucoup!

Posté par re : Mecanique, puissance 15-01-19 à 15:04

Il s'agit bien de $-\frac{1}{3k}ln(|\frac{p}{m}-v^3|)$ ?
Il doit y avoir une erreur de signe lié à quelque chose que je n'ai pas vu puisque x augmente non?

Posté par re : Mecanique, puissance 15-01-19 à 15:30

Pour le calcul de la primitive, il suffit de poser :

$u=P-m.k.v^{3}$ et le calcul se ramène à :

$x=-\frac{1}{3k}\int\frac{du}{u}$

Il faut aussi tenir compte des conditions initiales. Tu peux te dispenser de la “valeur absolue” car, dans la phase d'accélération :

$P>m.k.v^{3}$

$x=-\dfrac{1}{3k}\ln\left(P-m.k.v^{3}\right)+C$

avec C : constante d'intégration. Cas particulier de l'instant initial :

$0=-\dfrac{1}{3k}\ln\left(P\right)+C$

Soustration “membre à membre” :

$x=\dfrac{1}{3k}\cdot\ln\left(\dfrac{P}{P-m.k.v^{3}}\right)$

Cela conduit bien à x croissant quand v augmente.

Posté par re : Mecanique, puissance 15-01-19 à 23:05

Il me semble que ma primitive etait bonne j'abouti aussi à ce resultat, enfait j'avais juste divisé par m pour essayer de simplifier les calculs, merci à vous!

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