Niveau école ingénieur

Mécanique: Moment d'inertie

Posté par
BriToto 23-05-20 à 18:22

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice assez compliqué

Énonce:

Trouver le moment d'inertie (I) d'une sphère de rayon R et de masse M qui tourne
autour d'un axe fixe qui passe par le centre de la sphère.
r²=R²-z²

Merci d'avance !

Cordialement,
BriToto

Posté par re : Mécanique: Moment d'inertie 23-05-20 à 20:36

Bonsoir
Commence par exprimer le moment d'inertie par rapport au centre de la boule puis raisonnant sur les symétries...
Au fait : boule homogène ou coquille sphérique ?

Posté par re : Mécanique: Moment d'inertie 24-05-20 à 00:07

D'accord, je vais essayer. Sinon c'est une boule homogène.

J'ai commencé le chapitre récemment, je galère un peu ^^

Posté par re : Mécanique: Moment d'inertie 24-05-20 à 11:11

Bonjour,
je suis un peu bloqué.

Je sais que I=triple intégrale r².dm

Sinon, je sais pas comment faire.

Posté par re : Mécanique: Moment d'inertie 24-05-20 à 12:07

Un moment d'inertie d'un solide s'écrit toujours sous la forme :

$\iiint r^{2}.dm$

où « r » désigne la distance, soit à un point, soit à un axe, soit à un plan.

Dans le cas d'une boule homogène de masse volumique , on peut facilement calculer le moment d'inertie par rapport au centre O. Pour cela on considère la masse dm entre la sphère de centre O et de rayon r et la sphère de centre O et de rayon (r+dr). Toute cette matière est à la même distance r de O. Le volume dV de matière est le produit de l'aire de la sphère de rayon r par l'épaisseur dr :

$dV=4\pi.r^{2}.dr\quad;\quad I_{O}=\int_{0}^{R}\rho.4\pi.r^{4}.dr$

En remplaçant la masse volumique par le quotient (M/V) de la boule, tu obtiens ainsi I_O en fonction de M et R.

Les moments d'inertie par rapport aux axes Ox, Oy et Oz ont pour expressions :

$I_{Ox}=\iiint\left(y^{2}+z^{2}\right).dm\quad;\quad I_{Oy}=\iiint\left(x^{2}+z^{2}\right).dm\quad;I_{Oz}=\iiint\left(y^{2}+x^{2}\right).dm$

Par raison de symétrie, le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre est indépendant du choix de cet axe. Donc :

$I_{Ox}=I_{Oy}=I_{Oz}$

De plus :

$I_{Ox}+I_{Oy}+I_{Oz}=\iiint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).dm=I_{O}$

Il existe donc une relation très simple entre le moment d'inertie par rapport à un axe (I_Ox par exemple) et le moment d'inertie par rapport au centre I_O calculé...

Je te laisse réfléchir à tout cela !

Posté par re : Mécanique: Moment d'inertie 24-05-20 à 14:03

Après pas mal de calcul, j'ai un peu galéré ^^

Mais j'ai trouvé 2/3mr^2 ?

Exacte ?

Merci de m'aider

Posté par re : Mécanique: Moment d'inertie 24-05-20 à 14:45

Pas tout à fait !

$I_{O}=\int_{0}^{R}\rho.4\pi.r^{4}.dr=\frac{\rho.4\pi.R^{5}}{5}$

$\rho=\frac{M}{V}=\frac{3M}{4\pi.R^{3}}$

$I_{O}=\frac{3}{5}\cdot M.R^{2}$

Comme démontré précédemment :

$I_{Ox}=I_{Oy}=I_{Oz}=\frac{2}{3}\cdot I_{O}=\frac{2}{5}\cdot M.R^{2}$

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