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Niveau école ingénieur
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Mécanique Générale

Posté par
CloudNine
16-06-19 à 18:32

Bonjour tout le monde,

Je m'entraîne sur un sujet d'exercice sans correction.
Je souhaiterais avoir une confirmation de mes résultats.

Une porte de garage carrée ABCD est constituée d'une plaque. Le repère \left(S\right)=\left(A,\vec{x_s},\vec{y_s},\vec{z_s}\right) est lié à la plaque :
\vec{AD}=l\vec{z_s}=\vec{BC}
\vec{AB}=l\vec{y_s}=\vec{DC}
Un repère galiléen \left(g\right)=\left(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z}\right) est lié au bâti du garage.
Les deux points de la porte A et D sont en liaison avec le bâti de telle façon qu'ils décrivent respectivement les droites \left(O,\vec{x}\right) et \left(H,\vec{x}\right) du bâti avec \vec{OH}=l\vec{z}, alors \vec{z}=\vec{z_s}.
Les deux points B et C de la porte décrivent respectivement les droites \left(O,\vec{y}\right) et \left(H,\vec{y}\right).
La position de la porte est repérée dans \left(g\right) par \alpha\left(t\right)=\left(\vec{x},\vec{x_s}\right) mesuré sur \vec{z}, dérivable 2 fois. 0\le\alpha\le\frac{\pi}{2}.
On pose \vec{OA}=x\vec{x} 	et \vec{OB}=y\vec{y}.
Le centre de gravité de la porte est situé en G tel que \vec{AG}=\frac{l}{2}\left(\vec{y_s}+\vec{z}\right). La masse de la porte est m. La matrice d'inertie au point A et dans la base \left(S\right) est : \left[I_A\left(porte\right)\right]_{\left(S\right)}=\left[\begin{matrix}A&0&0\\0&C&-D\\0&-D&C\\\end{matrix}\right]

Mécanique Générale

Questions :
1.Calculer x\left(\alpha\right) et y\left(\alpha\right)

x\left(\alpha\right)=lsin\left(\alpha\right)
 \\ y\left(\alpha\right)=lcos\left(\alpha\right) 
 \\

2.Calculer la vitesse de G : \vec{v}\left(G\right)

{\vec{v}}^G\left(G\right)=\frac{d^g}{dt}\left(\vec{OG}\right)=\frac{d^g}{dt}\left(\vec{OA}+\vec{AG}\right)=\frac{d^g}{dt}\left(x\vec{x}\right)+\frac{d^g}{dt}\left(\frac{l}{2}\left(\vec{y_s}+\vec{z}\right)\right)
 \\ {\vec{v}}^G\left(G\right)=\left(\dot{xcos{\left(\alpha\right)}}-\frac{\dot{\alpha}l}{2}\right)\vec{x_s}-\dot{x}sin{\left(\alpha\right)}\vec{y_s}
 \\

3.Calculer la vitesse de A : \vec{v}\left(A\right)

{\vec{v}}^G\left(A\right)=\dot{x}cos{\left(\alpha\right)}\vec{x_s}-\dot{x}sin{\left(\alpha\right)}\vec{y_s}

4.Calculer l'accélération de G en fonction de \alpha , \dot{\alpha} et \ddot{\alpha}\ : \vec{J}\left(G\right)

Il faut dériver le vecteur vitesse  \vec{v}\left(G\right) or comme je ne suis pas sûr des mes résultats, je me suis arrêtée ici.

Qu'en pensez-vous ? Suis-je sur la bonne voie ?

Cordialement,

CloudNine

Posté par
vanoise
re : Mécanique Générale 16-06-19 à 22:26

Bonsoir
À ce que je comprends, les vecteurs vitesses et accélérations doivent être exprimés en fonction de l et des dérivés par rapport au temps de .

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 16-06-19 à 22:47

vanoise @ 16-06-2019 à 22:26

Bonsoir
À ce que je comprends, les vecteurs vitesses et accélérations doivent être exprimés en fonction de l et des dérivés par rapport au temps de .


Bonsoir,

Oui c'est bien ça.

Posté par
vanoise
re : Mécanique Générale 16-06-19 à 22:54

Les dérivées par rapport au temps de x et y ne doivent pas figurer dans les réponses.

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 16-06-19 à 23:09

Je n'ai pas compris.
En dérivant, forcément il y a x et y.

Posté par
vanoise
re : Mécanique Générale 16-06-19 à 23:42

Je vais t'aider pour l'expression de la vitesse de G dans le repère galiléen (g) en prenant en compte les remarques de mes messages précédents. Plusieurs méthodes sont possibles. La plus simple consiste sans doute à exprimer le vecteur OG dans (g) :

\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}=x.\overrightarrow{x}+\frac{l}{2}\left(\overrightarrow{y_{s}}+\overrightarrow{z}\right)

x=l.\sin\left(\alpha\right)\quad;\quad\overrightarrow{y_{s}}=-\sin\left(\alpha\right).\overrightarrow{x}+\cos\left(\alpha\right).\overrightarrow{y}

donc :

\overrightarrow{OG}=\frac{l}{2}.\left[\sin\left(\alpha\right).\overrightarrow{x}+\cos\left(\alpha\right).\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right]

\overrightarrow{V_{G/(g)}}=\frac{l}{2}\cdot\dot{\alpha}\cdot\left[\cos\left(\alpha\right).\overrightarrow{x}-\sin\left(\alpha\right).\overrightarrow{y}\right]

Je te laisse continuer.

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 17-06-19 à 17:45

Bonjour,

Merci

On obtient alors: \overrightarrow{V_{G/(g)}}=\frac{l}{2}\cdot\dot{\alpha}\cdot\left[\cos\left(\alpha\right).\overrightarrow{x}-\sin\left(\alpha\right).\overrightarrow{y}\right]

Donc on pour l'accélération:

 \vec{J}\left(G\right) = \frac{l}{2}[\ddot{\alpha}(\cos(\alpha) \vec{x} - \sin(\alpha) \vec{y}) - \dot{\alpha} (\sin(\alpha)\vec{x} + \cos(\alpha) \vec{y})]

Est-ce bon ?

Posté par
vanoise
re : Mécanique Générale 17-06-19 à 19:04

Pas tout à fait : en dérivant le sinus et le cosinus par rapport à t, une dérivée de par rapport à t supplémentaire apparaît :

\frac{d\left[\sin\left(\alpha\right)\right]}{dt}=\dot{\alpha}\cdot\cos\left(\alpha\right)\quad;\quad\frac{d\left[\cos\left(\alpha\right)\right]}{dt}=-\dot{\alpha}\cdot\sin\left(\alpha\right)

La vitesse angulaire apparaît au carré dans l'expression de l'accélération : sinon la relation ne serait pas homogène.

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 19-06-19 à 10:40

Ah oui j'ai oublié la alpha au carré. Merci !

2.Calculer la vitesse de G : \vec{v}\left(G\right)

 \vec{J}\left(G\right) = \frac{l}{2}[\ddot{\alpha}(\cos(\alpha) \vec{x} - \sin(\alpha) \vec{y}) - \dot{\alpha}^2 (\sin(\alpha)\vec{x} + \cos(\alpha) \vec{y})]

3.Calculer la vitesse  A:  \vec{v}\left(A\right)

Qu'en pensez du résultat de vitesse de A ?

 \vec{v}\left(A\right) = \dot{x} \cos(\alpha) \vec{x_s} - \dot{x} \sin(\alpha) \vec{y_s}

Un camarade à moi, trouve que:

 \vec{v}\left(A\right) = 0 car x est fixe.

Merci,

Posté par
vanoise
re : Mécanique Générale 19-06-19 à 10:57

Vous vous trompez tous les deux !
Quand tu obtiens un résultat littéral, il est prudent de vérifier deux choses qui , sans être des preuves d'un bon résultat, permettent d'éviter de grosses erreurs :
1° : vérifier l'homogénéité des formules ;
2° : vérifier le réalisme. Ici, l'énoncé précise que le point A se déplace en restant sur l'axe des abscisses. Le vecteur vitesse de A dans (g) n'est donc pas nulle dans le cas général et est colinéaire au vecteur unitaire \vec{x} :
\overrightarrow{OA}=x.\overrightarrow{x}=l.\sin\left(\alpha\right).\overrightarrow{x}
Tu n'as plus qu'à dériver par rapport au temps.

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 20-06-19 à 17:22

Merci beaucoup pour votre réponse.

Comment vérifie-t-on l'homogénéité des formules ? Par une analyse dimensionnelle ?

Si par exemple, je n'exprime pas \vec{x_s} = \cos(\alpha) \vec{x} + \sin(\alpha) \vec{y} ou bien \vec{y_s} = ...  dans mes dérivées, dans mes formules... Est-ce que c'est considéré comme une erreur.

Par exemple, on pourrait écrire pour le vecteur \vec{V} (OS) = \frac{1}{2} \dot{\alpha} \vec{x_s}

Merci,

CloudNine

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 20-06-19 à 17:38

\vec{V} (G) = \frac{1}{2} \dot{\alpha} \vec{x_s} 
 \\ pardon

Posté par
vanoise
re : Mécanique Générale 20-06-19 à 18:37

Citation :
Par une analyse dimensionnelle ?

Oui : cela va très vite avec un peu d'habitude.
\vec{V} (G) = \frac{1}{2} \dot{\alpha} \vec{x_s}  \\
Voilà bien une formule certainement fausse car non homogène : une vitesse est homogène à une distance divisée par une durée ; or une vitesse angulaire est homogène à l'inverse d'une durée : un terme en (l.\dot{\alpha}) est homogène à une vitesse.
Quand l'énoncé ne précise pas dans quelle base exprimer les vecteurs vitesse et accélération, il faut choisir une base fixe dans le repère d'étude (g). Dans certains problèmes, il peut être intéressant d'exprimer la vitesse dans (g) en choisissant une base mobile dans (g), par exemple la base \left(\overrightarrow{x_{s}},\overrightarrow{y_{s}},\overrightarrow{z_{s}}\right) mais l'énoncé le précise alors.

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 21-06-19 à 23:46

Merci beaucoup pour votre explication claire et précise.

Concernant la suite de l'exercice:

5.Déduire de la question précédente la somme du torseur dynamique {A_s^g} dans le repère (S) en fonction de \alpha,\dot{\alpha},\ddot{\alpha}.

On peut écrire:
{A_s^g}=\vec{{s}|\vec{M_G}}
\vec{s}{A_s^g}=m\vec{J^G\left(G\right)}=\frac{l}{2}m\left(\ddot{\alpha}\vec{x_s}+\dot{\alpha}\vec{y_s}\right)
\vec{M_G}{A_s^g}=m\vec{O_sG}\land\vec{J^G\left(G\right)}+\left[I_{OS}\left(S\right)\right].\dot{\vec{\omega_s^g}}+\omega_s^g\land\left[I_{OS}\left(S\right)\right].\vec{\omega_s^g}=\left(\begin{matrix}-m\frac{l}{2}\dot{\alpha^2}+D\dot{\left\{\alpha\right)^2}\\m\frac{l}{4}\ddot{\alpha}-D\ddot{\alpha}\\m\frac{l}{4}\ddot{\alpha}+C\ddot{\alpha}\\\end{matrix}\right)

6.Calculer en fonction \alpha, \dot{\alpha}, \ddot{\alpha} le moment en A du torseur dynamique dans le repère (S).

\vec{M_A}{A_s^g}=\vec{M_G}{A_s^g}+\vec{s}{A_s^g}\land\ \vec{AG}

Qu'en pensez-vous du résultat ?

Cordialement,

CloudNine

Posté par
vanoise
re : Mécanique Générale 23-06-19 à 20:38

Ton expression de l'accélération de G dans le repère G est certainement fausse : elle n'est pas homogène : tu additionnes une accélération angulaire avec une vitesse angulaire !
Puisque je t'ai déjà aidé à exprimer cette accélération dans la base \left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}\right), tu peux l'exprimer dans la base \left(\overrightarrow{x_{s}},\overrightarrow{y_{s}},\overrightarrow{z_{s}}\right) en remarquant :


 \\ \overrightarrow{x}=\cos\left(\alpha\right).\overrightarrow{x_{s}}-\sin\left(\alpha\right).\overrightarrow{y_{s}}

\overrightarrow{y}=\sin\left(\alpha\right).\overrightarrow{x_{s}}+\cos\left(\alpha\right).\overrightarrow{y_{s}}

Tout cela est bien calculatoire... Est-ce bien nécessaire d'exprimer la résultante dynamique et le moment dynamique en A dans la base mobile ?

Posté par
CloudNine
re : Mécanique Générale 02-07-19 à 17:34

D'accord, merci beaucoup votre aide !!!

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