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Mécanique et moment dynamique
Bonjour !
Voilà, j'ai un exercice où je bloque pour trouver la raideur k...
Voici l'énoncé :
Le référentiel terrestre R est considéré comme galiléen de base (O,x,y,z) tel que l'axe (Oz) soit vertical ascendant.
Aux extrémités 'une tige A1A2 de masse négligeable et de longueur 2d, on fixe deux sphères, assimilées à deux masses m ponctuelles. Le système S, formé de deux sphères et de la tige, est suspendu au point O, milieu de la tige, à un fil de torsion de raideur k. On tourne la d'un angle faible. Le système se met à osciller sans frottement à la période T autour de l'axe (Oz). On note I=2md2 le moment d'inertie du système S par rapport à l'axe (Oz).
En appliquant le théorème du moment dynamique au système, établir l'équation différentielle du mouvement et en déduire la raideur k du fil en fonction de
Pour ma part, j'ai dit que le théorème du moment dynamique est la dérivée du moment cinétique par rapport au temps et cela est égale à la somme des moments et des couples. Or on a un couple de rappel qui est le couple associé à k qui est -k. Par ailleurs le moment du poids en O est nul. Ensuite, la dérivée du moment cinétique par rapport au temps est
Et je bloque à ce niveau...
(N'arrivant pas à mettre l'image correspondante, je vous mets en lien ci-dessous l'image si vous voulez y jeter un coup d'oeil..)
https://drive.google.com/drive/my-drive
Merci d'avance !
M = I.d²alpha/dt²
-k.alpha = 2md² * d²alpha/dt²
d²alpha/dt² + (k/(2md²)).alpha = 0
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Autrement :
Energie mécanique du système : Em = 1/2.k.alpha² + 1/2.J.w² = constante
On dérive par rapport au temps : k*alpha*dalpha/dt + J*w*dw/dt = 0
avec w = dalpha/dt --> k*dalpha/dt + J*dw/dt = 0
k*dalpha/dt + 2md² * d²alpha/dt² = 0
d²alpha/dt² + (k/(2md²)).alpha = 0
-------------------
alpha(t) = C1.cos(V(k/(2md²)).t) + C2.sin(V(k/(2md²)).t)
Si alpha(0) = alpha0 et (dalpha/dt) = 0 ---> C2 = 0 et C1 = alpha0
alpha(t) = alpha0 * sin(V(k/(2md²)).t)
------
Sauf distraction. 
Je ne comprends pas la question telle qu'elle est posée.
Soit Co le couple appliqué au départ pour que la tige tourne de l'angle alpha0
On a Co = k.alpha0
k = Co/alpha0
On peut donc calculer k si on connait les valeurs numériques de Co et de alpha0
On peut aussi la calculer à partir de la mesure de la période d'oscillation.
On a wo = V(k/(2md²))
2Pi/To = V(k/(2md²))
k = ...
Si on mesure To et connaissant m et d, on peut calculer k.
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Mais je ne comprends pas la question telle qu'elle est posée dans l'énoncé.
Effectivement, comme on me demande de l'exprimer en fonction de T, j'ai trouvé ça :
On en déduit que
Or,
Donc après quelques calculs, on en déduit que
Effectivement, comme on me demande de l'exprimer en fonction de T
Ce n'est pas ce que tu avais indiqué dans l'énoncé initial.
Cependant, dans ma deuxième partie d'exercice, j'ai l'énoncé suivant :
Le système est maintenant au repos. Aux points M1 et M2, distants respectivement d'une distance r de A1 et de A2, on place deux masses M (M>>m. Sous l'effet des interactions de gravitation entre les masses m et M, la tige tourne d'un angle très faible mais mesurable.
La rotation est très faible, on considère que la distance r reste constante. On note G la constante de gravitation universelle. On néglige l'attraction gravitationnelle de la Terre sur le système.
Je dois exprimer le couple C exercé sur le système au point O par les interactions de gravitation pour en déduire G (avec le théorème du moment dynamique.
Pour cela, j'ai mis que l'on a les interactions de gravitation entre les masses M et M mais aussi le fil de torsion de raideur k.
Ainsi, pour moi, avec
Cependant, quand j'utilise le théorème du moment dynamique, cela me donne : , moment d'inertie du système S.
Est-ce correct ?
Pourquoi le théorème du moment dynamique.
Si le système est au repos (immobile) avec les masses en place, on a :
C = GmM/r² * 2d
et
C = k.theta
--> GmM/r² * 2d = k.theta
G = k.theta*r²/(2dmM)
k ayant été calculé suite à la mesure par la période d'oscillation dans la partie du début, connaissant d, r, m et M et mesurant theat ... on peut calculer G
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