Niveau maths sup

Mécanique du point et ressorts

Posté par
Cezar78 19-01-25 à 12:36

Bonjour,

j'ai un soucis avec la résolution de l'exercice en PJ.
Pour la 1), je n'ai pas eu de difficulté et j'ai l eq = $lo -\frac{ (mg sin \alpha )}{k}$
Pour la 2a), j'ai :
P = - mg (sin α ex + cos α ey), Rn = Rn ey et Fressort = -k(leq-d -lo)ex
Ensuite, je me suis dit qu'il fallait exprimer d en fonction de x, mais je ne suis pas sur : Fressort = -k (leq - leq+x - lo) ex = -k(x-lo)
En applicant le PFD sur ex, on a l'equa diff :
$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = -g \sin\alpha + \frac{k \ell_0}{m}$
d'ou j'ai trouvé avec les Conditions Initiales
$x(t) = \left( -d - \frac{mg \sin\alpha}{k} + \ell_0 \right) \cos\left(\sqrt{\frac{4k}{m}} \, t \right)$

Mais je pense que je me suis trompé parce que je ne trouve pas du tout ce que je devrai obtenir pour les expression de t1 et de v1 par le suite. Je me demande si je n'aurai pas pu simplifier mon équation diff dès le début...

Merci d'avance

Mécanique du point et ressorts

Posté par re : Mécanique du point et ressorts 19-01-25 à 13:00

Bonjour
Remarque préliminaire : l'énoncé est très long : tu peux en fournir une photocopie en image mais à condition de recopier les premières lignes pour faciliter le référencement dans les moteurs de recherche.
Sinon, l'énoncé demande de prendre pour origine des abscisses, la position d'équilibre. L'allongement du ressort à une date t quelconque peut alors s'écrire (l+x) où l désigne l'allongement à l'équilibre. Cela simplifie fortement l'équation différentielle.

Posté par re : Mécanique du point et ressorts 19-01-25 à 13:36

Bonjour,

Il y a un problème de compréhension des notations :

Citation :
Fressort = -k(leq-d -lo)ex

est la traduction correcte du deuxième schéma, donc à t=0, et d'après la définition de x, lorsque x=-d.
On ne peut pas exprimer d en fonction de x, (-d) est la valeur de la variable x à t=0.

Posté par re : Mécanique du point et ressorts 19-01-25 à 14:07

@gts2 : je n'ai jamais écrit que tout ce qu'à écrit précédemment Cezar78 était correct...
@Cezar78 :
D'accord avec ton expression de la longueur du ressort à l'équilibre. Puisque, l'énoncé demande de choisir la position d'équilibre comme origine des abscisses, la longueur du ressort à la date t quelconque est :

$l=l_{eq}+x=l_{o}-\frac{m.g.\sin\left(\alpha\right)}{k}+x$

La force exercée par le ressort à une date t quelconque est ainsi :

$F=-k.\left(l-l_{o}\right)=-kx+m.g.\sin\left(\alpha\right)$
Cela va te conduire à une expression très simplifiée de l'équation différentielle. Tu pourras résoudre cette équation en tenant compte des deux conditions initiales :
x₍₀₎=-d ; v₍₀₎=0
Je te laisse poursuivre et corriger ce que tu as déjà fait.