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Mécanique du point

Posté par
GFC03 31-01-23 à 14:39

Dans le plan (Oxy), le mouvement d'un point P est déterminé par les équations paramétriques:
𝑥 = 𝑣0𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝛼), 𝑦 = 𝑣0𝑡 sin(𝛼) − \frac{1}{2}gt²
où v0 est la vitesse initiale de P et α est l'angle que
fait v0 avec l'axe Ox.
1- Quelle est la nature de la trajectoire ?
2- Déterminer :
a) Les accélérations normales et tangentielles.
b) Le rayon de courbure ρ(t) ainsi que le centre de courbure C(t)
c) Les expressions des vecteurs unitaires de Serret-Frenet.
3- Trouver l'angle entre les vecteurs vitesses et accélérations au point où la trajectoire
recoupe l'axe Ox.

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 31-01-23 à 14:57

Bonjour
Que proposes- tu comme éléments de solution ? Tu peux poser des questions précises sur ce qui te bloque.
PS il s'agit de l'étude du mouvement parabolique dans le champ de pesanteur étudié dès la terminale...

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 31-01-23 à 15:21

Bonjour tout le monde j'ai essayé de traité cet exercice mais arrivé à 2)-b je doute de mes réponses parceque ça va être un peu compliqué
1) y=-\frac{gx²}{2v0²cos²\alpha }+xtg\alpha  la trajectoire est une parabole
2)-a je trouve
\gamma T=\frac{g²-gv0sin\alpha }{(v0²+g²t²-2gtv0sin\alpha )^½}
et.                                 \gamma n=\frac{v0²+g²t²-2gtv0sin\alpha }{ \rho (t)}
Pouvez vous m'aidez s'il vous plaît
Merci d'avance
PS:je suis désolée de ne pas avoir mis mon cheminement mais j'utilise mon portable

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 31-01-23 à 15:42

D'accord pour la question 1. Pour aborder la question 2, il est intéressant en préambule d'exprimer le vecteur accélération dans la base cartésienne (\vec u_x,\vec u_y) : très facile, du niveau terminale !
Ensuite, tu peux déterminer les vecteurs unitaires de Frénet : \vec u_T et \vec u_N. Il suffit alors de projeter le vecteur accélération trouvé précédemment dans cette base de Frénet.
Je n'obtiens pas tes résultats...

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 31-01-23 à 16:16

Oui mais vu que cette question est posée plus tard je pense qu'il faut faire autrement non ?

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 31-01-23 à 16:42

Ton énoncé est ambigu : s'il s'agit de trouver les vecteurs accélération tangentielle et accélération normale, il n'y a pas de méthode simple autre que celle que je t'ai proposée.
S'il s'agit uniquement de trouver les normes des deux vecteurs, il y a une méthode alternative :

a_{T}=\frac{d\Vert\overrightarrow{v}\Vert}{dt} et a_{N}=\sqrt{a^{2}-a_{T}^{2}}
puisque les vecteurs accélération tangentielle et accélération normale sont orthogonaux.

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 31-01-23 à 19:39

Il doit alors s'agir de ta deuxième option et dans ce cas je trouve \gamma N
Et je trouve le rayon de courbure en posant \rho (t) =\frac{v²}{\gamma N }

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 31-01-23 à 21:11

C'est vrai que la seconde méthode que j'ai proposée à l'avantage d'être en accord avec l'ordre des questions de l'énoncé. Considérons donc qu'il s'agit de celle souhaitée par le concepteur de l'énoncé.
Cela dit, il te faut reprendre les expressions de T et de N. Ton expression de l'accélération tangentielle est certainement fausse car elle n'est pas homogène. On ne peut en physique que soustraire ou additionner des grandeurs de même dimension physique. Or, au numérateur, g2 a la dimension du carré d'une accélération alors que g.vo.sin() a la dimension du produit d'une accélération par une vitesse.

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 01-02-23 à 00:23

Pourtant en module je trouve
v=\sqrt{v_{x}²+v_{y}²}=>v=\sqrt{vo² cos²\alpha+(-gt+vo sin\alpha )²}
en revoyant \gamma T on a
\gamma T=\frac{g(gt-vosin\alpha )}{\sqrt{vo² cos²\alpha+(-gt+vo sin\alpha)² }} sur mon premier message j'ai fait une erreur de frappe

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 01-02-23 à 10:42

D'accord maintenant avec toi. Comme tu l'avais fait dans ton premier message, il est possible de simplifier un peu en tenant compte des carrés de sinus et cosinus.
L'expression de N que tu fournis est correcte mais va être utile à la question b) pour obtenir le rayon de courbure. Je t'ai fourni hier à 16h42 une méthode permettant d'obtenir l'accélération normale en fonction de t, de g  et des conditions initiales.
Petite remarque : jusqu'à 1980 environ, l'accélération était très souvent symbolisée par la lettre . Depuis, on utilise de plus en plus la lettre "a" dans la mesure où à une signification réservée en mécanique relativiste, un peu comme la lettre "g" réservée à l'intensité du champ de pesanteur.

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 01-02-23 à 21:01

Oui merc beaucoup i
Je trouve  \rho(t)=\frac{(v_o²+g²t²-2gtv_o sin\alpha) ^_3/2}{gv_o cos\alpha }
Pouvez vous un peu m'éclairer sur le centre de courbure
Merci d'avance

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 01-02-23 à 22:31

GFC03 @ 01-02-2023 à 21:01

Oui merc beaucoup i
Je trouve  \rho(t)=\frac{(v_o²+g²t²-2gtv_o sin\alpha) ^_3/2}{gv_o cos\alpha }
Pouvez vous un peu m'éclairer sur le centre de courbure?
Merci d'avance

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 02-02-23 à 10:28

D'accord avec tes expressions des accélération et du rayon de courbure. Soit M la position du mobile à la date t et C le centre de courbure à la date t. C est sur la normale en M à la trajectoire à la distance de M, le point C étant côté concavité de la trajectoire.
Quoi qu'en pense le concepteur de cet exercice, les vecteurs de Fresnel ne sont pas là pour donner lieu à des calculs : ils sont très utiles... Il serait donc plus simple de définir le point C par :

\vec{MC}=\rho\cdot\vec {u_N}

où \vec {u_N} est le vecteur normal centripète.

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 02-02-23 à 18:53

Donc je pose \vec{OC}=\vec{OM}+\vec{MC}
Ce qui me donne en coordonnées cartésiens x_c=\frac{v_0² sin2\alpha}{2g} +\frac{(-gt+v_0 sin\alpha)³ }{gv_0cos\alpha }
et y_c=½gt²-v_0tsin\alpha

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 02-02-23 à 19:36

Obtenir yC=-yM à chaque instant me parait irréaliste. Comment as-tu obtenu les coordonnées du vecteur \vec{MC} ? Sans passer par les vecteurs de Frenet, cela me parait compliqué...
De plus l'expression de l'énoncé : "Déterminer le centre de courbure C(t)" me parait ambigu : faut-il vraiment trouver les coordonnées du point C ou faut-il se contenter de définir ce qu'est le centre de courbure ????

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 02-02-23 à 21:36

Désolé la première fois j'ai utilisé une formule que j'ai vu sur une fiche
Mais cette je suis passé par tout les étapes
Je trouve

\vec{T}= \frac{1}{(v_0²+g²t²-2gtv_0 sin\alpha)^½ }\)(v_0 cos\alpha\vec{i} +(-gt+v_0 sin\alpha)\vec{j})
Et \vec{N}=\frac{1}{(v_0²+g²t²-2gtv_0sin\alpha)^½ }\)((-gt+v_0sin\alpha )\vec{i}+(\frac{(-gt+v_0sin\alpha)²-v }{v_0cos\alpha })\vec{j})

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 02-02-23 à 21:58

Et x_c=v_0tcos\alpha+\frac{v²}{gv_0 cos\alpha } (-gt+v_0 sin\alpha)
y_c=-1/2gt²+v_0tsin\alpha+v²(\frac{(-gt+v_0sin\alpha )²-v}{gv_0²cos²\alpha })

Mais là est tout le problème ne vois pas comment déterminer le centre de courbure sans passer par les vecteurs de Frenet

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 02-02-23 à 22:36

Que vaut a priori le produit scalaire de deux vecteurs unitaires orthogonaux ?
Sinon : je pense que l'ordre des questions est maladroit. Je ne vois pas de méthode permettant d'obtenir les coordonnées de C sans faire des calculs qui vont faire double emploi avec l'obtention des vecteurs de Frenet. Des maladresses, voire même des erreurs, cela existe dans les énoncés. Cet exercice est déjà suffisamment "calculatoire" comme cela !

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 02-02-23 à 23:19

Merci beaucoup
je voudrais tout de même savoir si mes vecteurs unitaires sont correcte

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 03-02-23 à 11:04

Citation :
je voudrais tout de même savoir si mes vecteurs unitaires sont correcte

La phrase de mon dernier message allait dans ce sens :
Citation :
Que vaut a priori le produit scalaire de deux vecteurs unitaires orthogonaux ?

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 03-02-23 à 18:41

Ok je reprends \vec{T}=\frac{1}{v}(v_0cos\alpha \vec{i}+(-gt+v_0sin \alpha)\vec{j})
Et
\vec{N}=\frac{1}{v}((-gt+v_0sin \alpha )\vec{i}-(v_0 cos\alpha )\vec{j})

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 03-02-23 à 19:26

D'accord avec toi maintenant !

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 04-02-23 à 10:55

Sinon pour la dernière question je trouve \beta = \alpha - \pi /2
Puis que la vitesse initiale est égal à la vitesse d'impact

Posté par
vanoisere : Mécanique du point 04-02-23 à 13:45

D'accord sous réserve qu'il s'agit bien de l'angle entre le vecteur vitesse et le vecteur accélération \vec g .

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 04-02-23 à 15:31

Oui bien sûr

Posté par
GFC03re : Mécanique du point 04-02-23 à 15:57

Merci Vanoise 🙂


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