Niveau école ingénieur

mécanique du point

Posté par
jounaid95 17-10-13 à 18:24

bonjour j'ai un problème pour un exercice de physique.
voici l'énoncé:
un sauteur en élastique de masse m=70kg saute depuis un pont avec un elastique accrocher au pied pendant les 20 premiers mètres jusqu'en A l'élastique n'a aucune utilité.A partir du point A l'action de l'elastique est modélisable par un ressort de longueur a vide l0=20m et de constante de raideur k = 120N/m. Le sauteur a un mouvement purement verticale.

questions:
considérons la deuxième phase de la chute ou le sauteur suit l'action de l'élastique modélisée par un ressort

2)a)appliquer PFD au sauteur et en déduire l'équation différentielle de z ? j'ai fait :ma = P + Tk
ma vect uz = mg vect uz -k(l-l0)vect uz.
ma = mg -k(l-l0)
OR l = l0+z
ma = mg -kz (a chaque fois qu'il y a c'est z point point ce qui revient au meme mais dans l'énonccé c'est en fonction de z)

b)on pose Z(t)=z(t)-(mg)/k déduire équa diff Z.
j'ai fait : Z=z-(mg)/kz=Z+(mg)/kzpoint point = Z point point.
en remplaçant dans equa diff question 2a :
mZpoint point = -kZ
Zpoint point = -(kZ)/m

c) en déduire la solution Z(t) de l'équa diff de Z ? je ne sais pas quel raisonnement utiliser ?

merci d'avance pour votre réponse.

Posté par re : mécanique du point 17-10-13 à 19:00

Posté par re : mécanique du point 17-10-13 à 20:03

un peu d'aide je ne sais pas quel raisonnement faire pour la c)

Posté par re : mécanique du point 17-10-13 à 23:08

Bonsoir,
L'équation différentielle est :
$\Large \frac{d^2z}{dt^2}\,+\,\frac{k}{m}\,z\,=\,0$
La solution d'une telle équation différentielle (de la forme $\large \frac{d^2z}{dt^2}\,+\,\omega^2\,z\,=\,0$ ) est :
$\Large z\,=\,A\,cos\,\omega t\,+\,B\,sin\,\omega t$
Donc :
$\Large z\,=\,A\,cos\,\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\,+\,B\,sin\,\sqrt{\frac{k}{m}}\,t$
A et B dépendent des conditions initiales, bien sûr...

Posté par re : mécanique du point 18-10-13 à 14:12

mgh = 1/2 m.v²
v² = 2gh
v² = 2 * 10 * 20 = 400
v = 20 m/s

Donc au moment (pris comme origine d'horloge) où l'élastique commence à s'allonger, la vitesse du bonhomme est Vo = 20 m/s (allongement de l'élastique = 0 m à cet instant)
Avec l'origine du repère à l'endroit où le sauteur se trouve en t = 0, et l'axe des z vertical vers le bas :

z(0) = 0

P - k.z = m.d²z/dt²
m.g - kz = m.d²z/dt²
m.d²z/dt² + k.z = mg
d²z/dt² + (k/m).z = g
-----
Poser Z(t)=z(t)-(mg)/k
d²Z/dt² = d²z/dt²

d²Z/dt² + (k/m).(Z + m.g/k) = g

d²Z/dt² + (k/m).Z + g = g

d²Z/dt² + (k/m).Z = 0
-----
d²Z/dt² + (k/m).Z = 0

p² = -(k/m)

Z = A.sin(V(k/m) .t) + B.cos(V(k/m) .t)

Z(t)=z(t)-(mg)/k

z(t) = A.sin(V(k/m) .t) + B.cos(V(k/m) .t) + mg/k

z(0) = 0 ---> B = -mg/k

z(t) = A.sin(V(k/m) .t) - (mg/k).cos(V(k/m) .t) + mg/k

(dz/dt)(0) = 20

A.V(k/m) = 20
A = 20.V(m/k)

z(t) = 20.V(m/k).sin(V(k/m) .t) - (mg/k).cos(V(k/m) .t) + mg/k

z(t) = 20.V(70/120).sin(V(120/70) .t) - (70*10/120).cos(V(120/70) .t) + 70*10/120

z(t) = 15,3.sin(1,31.t) - 5,83.cos(1,31.t) + 5,83
-----
Sauf distraction.

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