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Mécanique du point
Rebonjour !
Je bloque sur un exercice de mécanique du point assez simple qui me rend complètement fou.
Un mobile ponctuel de masse M peut glisser sans frottement sur un rail circulaire de rayon R. Ox est l'axe vertical orienté vers le bas et 
l'angle (Ox,OM). Ce mobile est lancé avec une vitesse initiale vo horizontale du point le plus bas du cercle. Déterminer la composante radiale T() de l'action de contact du rail sur le mobile. En déduire la valeur minimale de vo pour que le mobile fasse un tour complet sans perdre contact avec le rail (T est pris algébriquement, T<0).
J'ai appliqué le principe fondamental au mobile: (en gras ce sont les vecteurs)
P+ T = a
P= mg(cos() ur-sin() u) avec les notations des coordonnées polaires.
T= T ur
a= -R(d/dt)^2 ur+d2/dt2R u.
On projette sur ur:
T+mgcos()= -Rm(d/dt)^2
On projette sur u
-mgsin=d2/dt2Rm
J'ai multiplié par d/dt dans la deuxième équation pour pouvoir intégrer en 1/2*(d/dt)2=-g/R*cos pour réinjecter cette expression dans la première équation mais ce n'est pas du tout ça.
J'ai accès à la réponse qui est: T=-m*v02/R+mg(2-3cos).
J'ai refait mes calculs au moins 5 fois et je ne vois même pas comment le terme en 2mg peut apparaître . Le -m*vo2/R vient du -Rm(d/dt)^2 mais le reste ... 
Ai-je oublier une force, mal intégré? Comment faire apparaître les conditions initiales dans l'expression de T?
Merci d'avance !
Référentiel lié au mobile :
Fc = mw²R (force centrifuge)
P = mg
Projection sur MO :
T = -mw²R - P.cos(theta)
T = -mw²R - mg.cos(theta) (1)
---
Energie mécanique du mobile (référence d'altitude pour énergie potentielle se pesanteur nulle au point bas de la trajectoire) :
Em = (1/2).m.Vo²
Lorsque M est à l'angle theta :
Ep = m.g.R(1-cos(theta))
Ec = (1/2).m.v² (avec V la vitesse de M)
Em = m.g.R(1-cos(theta)) + (1/2).m.v²
Et comme il n'y a pas de frottement, il y a conservation de l'énergie mécanique du mobile --->
m.g.R(1-cos(theta)) + (1/2).m.v² = (1/2).m.Vo²
2.g.R(1-cos(theta)) + v² = Vo²
et v = w.R --->
2.g.R(1-cos(theta)) + w².R² = Vo²
w²R = Vo²/R - 2.g.(1-cos(theta))
(1) devient alors :
T = -m[Vo²/R - 2.g.(1-cos(theta))] - mg.cos(theta)
T = -mVo²/R + 2.mg + 2mg.cos(theta) - mg.cos(theta)
T = -mVo²/R + 2.mg - 3mg.cos(theta)
T = -mVo²/R + mg(2 - 3.cos(theta))
----
Pour faire un tour complet, il faut que T reste <= 0 sur tout le tour. (avec la convention de signe inhabituelle imposée par l'énoncé).
-mVo²/R + mg(2 - 3.cos(theta)) <=0
Vo² >= R.g(2 - 3.cos(theta))
le point critique est pour cos(theta) = -1 (M au dessus).
Vo² >= R.g.(2+3)
Vo² >= 5.g.R
Vo >= Racinecarrée(5gR)
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Sauf distraction. 
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