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Mécanique des systèmes

Posté par
Electromag45 19-04-23 à 16:58

Bonjour,

On considère un disque (D_1) de masse m_1, de rayon R_1 et de centre O et un cerceau (C) de même centre O et de rayon R_2(R_2=\frac{3}{2}R_1). Entre ces deux solides, on dispose un deuxième disque (D_2) de rayon r (à exprimer en fonction de R_1) et de masse m_2. On désignera par I_1 le point de contact entre D_1 et D_2 et par I_2 le point de contact entre (C) et (D_2). On admet que le roulement de (D_2) sur (D_1) est sans glissement. On désigne par R_0(O,\vec{i_0},\vec{j_0},\vec{k_0}) un repère fixe dont \vec{k_0} est perpendiculaire au plan vertical (\vec{i_0},\vec{j_0}) contenant les disques et le cerceau ; et par R(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k_0}) un repère en rotation autour de Oz_0 et dont l'axe Ox passe constamment par le centre de masse G du disque (D_2). L'angle \theta caractérise la rotation du repère R par rapport à R_0. On donne \vec{\Omega}(D_1/R_0)=\omega \vec{k_0} et \vec{\Omega}(C/R_0)=2\omega \vec{k_0} (\omega est une constante positive).

1. Calculer \vec{V}(I_1\in D_1/R_0). En déduire \vec{V}(I_1 \in D_2/R_0).

Je ne sais pas du tout comment faire...

Merci beaucoup d'avance pour l'aide apportée !

Mécanique des systèmes

Posté par
vanoisere : Mécanique des systèmes 19-04-23 à 19:41

Bonjour

Roulement sans glissement de D2 par rapport à D1 :

\overrightarrow{V_{I_{1}\in D_{1}/R_{o}}}=\overrightarrow{V_{I_{1}\in D_{2}/R_{o}}}

Ensuite : tu as appris en cours comment exprimer la vitesse d'un point quelconque d'un solide en faisant intervenir les vecteurs rotations instantanées. Je te laisse réfléchir et proposer une solution.

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 09:34

Bonjour,

Merci pour la réponse.

Je propose donc \vec{V}(I_1\in D_1/R_0)= \vec{V}(D_1\in D_1/R_0) + \vec{\Omega }(D_1/R_0) \wedge \vec{D_1I_1}= \dot{x}\vec{x_0}+\omega \vec{k_0} \wedge-R_1\vec{y_0}

Posté par
vanoisere : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 10:27

D1 est un solide en rotation. Parler de la vitesse de D1 n'a pas de sens car tous les points de D1 n'ont pas la même vitesse. Je ne vois pas ce que xpoint vient faire ici !

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 11:17

Il faudrait donc plutôt prendre la vitesse du cerceau ?

Posté par
vanoisere : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 13:28

Le cylindre D1 est animé dans Ro d'un mouvement de rotation à la vitesse angulaire autour de l'axe fixe (O,Zo). Tu peux utiliser ton cours fourni dans l'enseignement secondaire pour un cas aussi simple ou utiliser la relation générale du champ de vitesse d'un solide :

\\ \overrightarrow{V_{I_{1}\in D_{1}/R_{o}}}=\overrightarrow{V_{O/R_{o}}}+\overrightarrow{\Omega_{D_{1}/R_{o}}}\wedge\overrightarrow{OI_{1}}=\omega.\overrightarrow{k_{o}}\wedge R_{1}.\overrightarrow{i}=...

Je te laisse continuer.

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 18:44

\omega \vec{k_0}\wedge R_1.\vec{i}=\omega \vec{k_0}\wedge(R_1\vec{i}-r\vec{k_0})=(r+R_1)\vec{j}

?

Posté par
vanoisere : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 19:24

Suite de mon précédent message :

\overrightarrow{V_{I_{1}\in D_{1}/R_{o}}}=\overrightarrow{V_{O/R_{o}}}+\overrightarrow{\Omega_{D_{1}/R_{o}}}\wedge\overrightarrow{OI_{1}}=\omega.\overrightarrow{k_{o}}\wedge R_{1}.\overrightarrow{i}=R_{1}.\omega.\overrightarrow{j}

Citation :
?

Telle qu'est posé la question : « En déduire... » , je pense qu'il faut, pour cette première question, évoquer l'absence de glissement en I1 pour écrire l'égalité fournie dans mon message du 19-04-23 à 19:41. J'imagine que les questions ultérieures vont demander de déterminer \overrightarrow{\Omega_{D_{2}/R_{o}}} puis d'étudier l'éventuel glissement en I2.

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 20:11

Merci beaucoup vanoise !

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 20:12

Oui il y a des questions supplémentaires que je vais traiter par la suite et poster ici pour avoir un avis

Je te remercie !

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 21:19

Pour \vec{V(I_2\in C/R_0})=\vec{V}(O\in D_2/R_0)+\vec{\Omega}_D_2/R_0\wedge\vec{OI_2}= 2\omega \vec{k_0}\wedge (R_1+R_2).\vec{i}=2(R_1+R_2).\omega \vec{j}

?

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 21:20

Electromag45 @ 20-04-2023 à 21:19

Pour \vec{V(I_2\in C/R_0})=\vec{V}(O\in D_2/R_0)+\vec{\Omega}_D_2/R_0\wedge\vec{OI_2}= 2\omega \vec{k_0}\wedge (R_1+R_2).\vec{i}=2(R_1+R_2).\omega .\vec{j}

?

Posté par
vanoisere : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 21:24

À ce que je comprends, le rayon de C est R2...

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 21:48

Ah oui j'ai confondu !

On a donc \vec{V}(I_2\in C/R_0)=2R_2.\omega .\vec{j}

Posté par
vanoisere : Mécanique des systèmes 20-04-23 à 22:12

D'accord !

Posté par
Electromag45re : Mécanique des systèmes 21-04-23 à 09:07

En utilisant la relation de transfert du torseur cinématique pour (D_2) ou relation de composition des vitesses, déterminer \vec{\Omega }(D_2/R_0) (on posera \vec{\Omega }(D_2/R_0)=\alpha \vec{k_0} avec \alpha à déterminer en fonction de \omega.

\vec{\Omega }(D_2/R_0)=\vec{\Omega }(D_1\in R_0)+\vec{\Omega }(D_2\in R_0)=3\omega \vec{k_0}

Je ne sais pas du tout pour cette question, merci encore pour ton aide !

Posté par
vanoisere : Mécanique des systèmes 21-04-23 à 09:34

Ta dernière formule n'a pas de sens !  L'énoncé précise-t-il l'absence de glissement de D2 par rapport à C en I2 ?


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