Niveau école ingénieur

Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes

Posté par
speed 07-05-17 à 18:53

Bonjour,

Voilà j'ai un exercice sur la dynamique des fluides.

On considère l'écoulement plan permanent uniforme d'un fluide de viscosité dynamique $\mu$ . Hypothèses : écoulement laminaire , fluide adhère aux 2 parois solides, les seules forces massiques : forces de pesanteur. (Repère cartésien)

Le but est de déterminer l'expression de la pression.

Après application des équations de Navier Stockes dans le repère cartésien :
$\frac{-1}{\rho }\times \frac{\partial P}{\partial x} =0$ (1)

$\frac{-1}{\rho }\times \frac{\partial P}{\partial y}+\nu\times \frac{\partial ^{2}v}{\partial z^{2}} + g\times sin (\alpha)=0$ (2)

$\frac{-1}{\rho }\times \frac{\partial P}{\partial z}- g\times cos (\alpha)=0$ (3)

(1) => $\frac{\partial P}{\partial x} =0 \Rightarrow P(y,z)$

(3) => $\frac{\partial P}{\partial z} =- g\times \rho \times cos (\alpha) \Rightarrow P(y,z)=-\rho \times g\times cos (\alpha)\times z+C1(y)$

(2) => $\frac{\partial P}{\partial y}=\rho\times \nu\times \frac{\partial ^{2}v}{\partial z^{2}} + \rho\times g\times sin (\alpha)= \frac{\partial C1(y)}{\partial y}$

Mathématiquement je ne vois pas pourquoi la pression ne dépend pas de y .

Au final la pression dépend uniquement de z $P(z)=-\rho \times g\times cos (\alpha)\times z+C$ .

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par re : Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes 07-05-17 à 21:07

Bonjour,

si ta pression dépendait de y, il y aurait donc des forces de pression qui aurait une composante selon cet axe, donc une accélération, or le régime est permanent, débit constant donc vitesse constante et uniforme.

Posté par re : Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes 09-05-17 à 23:31

Merci RovharAndin

Posté par re : Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes 10-05-17 à 05:31

Hello

Citation :
Mathématiquement je ne vois pas pourquoi la pression ne dépend pas de y .

Au final la pression dépend uniquement de z $P(z)=-\rho \times g\times cos (\alpha)\times z+C$

Citation :
si ta pression dépendait de y, il y aurait donc des forces de pression qui aurait une composante selon cet axe, donc une accélération, or le régime est permanent, débit constant donc vitesse constante et uniforme

Ces 2 propositions me laissent perplexes:

Si j'interprète correctement les projections de Navier Stokes:
-

est l'inclinaison des parois par rapport à l'horizontale
- x est l'axe horizontal perpendiculaire à la direction de plus grande pente (et d'écoulement)
- y est l'axe porté par la direction de plus grande pente, dirigé vers le "bas"
- z est la perpendiculaire aux 2 parois solides, dirigé vers le "haut"

@RovharAndin, je ne comprends pas le $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$ , le même raisonnement mené pour la variable z conduirait à P = Cste ?

@Speed: Pourquoi déduis tu de $\frac{\partial C1}{\partial y} = Cste$ que C1 = Cste (ta dernière formulation de (2) )

Bon, la mécaflu, je n'en fais pas tous les jours, il y a donc peut être un râteau que je n'ai pas vu

Posté par re : Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes 10-05-17 à 15:16

dirac @ 10-05-2017 à 05:31

@RovharAndin, je ne comprends pas le $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$ , le même raisonnement mené pour la variable z conduirait à P = Cste ?

Non, le même raisonnement montrerait que la variation de pression entre deux sections droites de l'écoulement sert à compenser la force de viscosité s'opposant à l'écoulement.

Posté par re : Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes 10-05-17 à 21:36

Merci @RovharAndin

Désolé de "pourrir" le post de @Speed.

C'est justement là que je coince.

Dans l'équation (2) initiale on avait:

$\frac{-1}{\rho }\times \frac{\partial P}{\partial y}+\nu\times \frac{\partial ^{2}v}{\partial z^{2}} + g\times sin (\alpha)=0$

Soit

$\frac{\partial P}{\partial y} = \nu\rho\times \frac{\partial ^{2}v}{\partial z^{2}} + g\rho\times sin (\alpha)$

Il me semble que les 2 termes expriment:

- pour le premier l'influence de la viscosité que tu mentionnes
- pour le second l'influence de la pesanteur

il y a donc selon moi (bien humblement) "contradiction" entre les proposition:

- si ta pression dépendait de y, il y aurait donc des forces de pression qui aurait une composante selon cet axe (dP/dy = 0)
- la variation de pression entre deux sections droites de l'écoulement sert à compenser la force de viscosité s'opposant à l'écoulement (dP/dy = 0)

Bon alors, maintenant 2 scénarios:
- je n'ai toujours rien compris à la mécaflu (possible, je n'ai jamais eu de bon profs sur le sujet ) ce qui explique que je n'ai (toujours) rien compris
- je me suis pris les pieds dans le tapis dans le système de coordonnées

Posté par re : Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes 10-05-17 à 22:25

Autant pour moi; je n'avais pas compris qu'il y avait une inclinaison du support.
En plus, tu as raison, je me suis contredis. Avec la viscosité, la pression dépend de la grandeur dans le sens de l'écoulement.
En faisant un bilan des forces s'appliquant sur une tranche de fluide comprise entre les "altitudes" z et z+dz et y+dy, on obtient l'équation (3). Mais la pression estalors bien fonction de y.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Mécanique des fluides Equattion de Navier Stockes

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique