Enoncé:

Pour mesurer la tension interfaciale γ entre deux liquides ou un liquide et un gaz, on utilise le dispositif suivant : un tambour cylindrique est rempli du liquide le plus dense (masse volumique ρl) et on y ajoute une goutte (ou une bulle) de volume V de l'autre liquide (ou gaz) de masse volumique ρf . Le tambour est mis en rotation autour
de son axe à vitesse angulaire Ω, et on observe, lorsque les deux fluides tournent en bloc avec le tambour, que la goutte adopte une forme cylindrique de rayon a et de longueur L (photo : heptane dans du glycérol `a différentes vitesses)

On suppose pour simplifier, que L >>a et que les extrémités du cylindre peuvent être considérées comme plates.
On étudie le système dans le référentiel tournant avec le tambour dans lequel le fluide est au repos.


1. Quelle est l'expression de la force centrifuge f s'xercant sur une particule de fluide de masse m située a une distance r de l'axe de rotation ?
2. Montrer que cette force d´erive d'un potentiel U(r) = −(mr)/2*Ω^2

3. En d´eduire que l'´energie potentielle de l'ensemble des deux fluides peut s'´ecrire
Utot = U0 +π/4(ρl − ρf )LΩ^2*a^4

4. Donner l'expression de l'énergie interfaciale Es en fonction de γ, L et a (on négligera les interfaces situées aux extrémités du cylindre).

5. En déduire l'expression de l'énergie totale E.

6. Le volume V de fluide étant fixé, trouver la valeur d'équilibre du rayon a pour laquelle l'énergie totale est minimale.

7. En déduire l'expression de l'énergie interfaciale en fonction de L et de V (i.e. sans faire apparaitre a)

8. Pour un volume V = 0.1900 cm3 d'hexadécane dans du glycérol (ρl − ρf = 0.485 g.cm−3) `a une vitesse Ω = 470 rad.s−1, on mesure une longueur L = 5.996 cm. En déduire la valeur de la tension interfaciale γ.




1)
2) On intègre F-->

3)en prenant r=a pour le premier fluide et le volume du petit cylindre et en prenant un rayon r= (R-a) et le volume du grand cylindre - volume petit cylindre je trouve

ce qui m'embête beaucoup.

4)on neglige la surface aux extrémités et on ne prend que celle du tube.




5)

6) Je dérive tout par rapport à a en supposant que Uo n'en depende pas.

je trouve
ce qui semble cohérent, plus augmente et plus a deviens petit.

7) on remplace a par l'expression trouve précedement

8) je trouve =-54,265 N/m ce qui me semble faux.