Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spéForum Supérieur de maths spe PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau maths spé
Partager :

Mecanique des fluides

Posté par
Flashtag 25-12-19 à 11:38

Bonjours je bloque sur un exercice de mécanique des fluides qui voici c'est le viscosimètre de Couette . On a deux cylindres coaxiaux de rayon R1 et R2 (R1<R2) tournent autour de leur axe avec la vitesse angulaire w1 et w2 .Ils entrainent un fluide incompressible de viscosité situé entre eux deux . On s'intéresse au régime permanent . On suppose que le champ de vitesse du fluide est donné en coordonnées cylindriques par v=v(r).u (des vecteurs ) l'axe Oz etant celui des cylindres.
1) verifier que l'écoulement est incompressible
2) trouver l'équation que v(r) obeit
Merci si quelqu'un aurait des sources pour m'aider en mecaniques de fluide j'en serait aussi reconnaissant ！

Posté par
diracre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 12:29

Hello

Une bonne source pourrait être le cours? Il me semble que cet exo en est une application directe (en plus je ne sais pas ce qu'il y a dans ton cours )

1) propriété de div(\vec{v}) ?

2/ Navier Stokes

Posté par
Flashtagre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 15:42

Ah merci
J'ai réussi avec Navier Stoke
On tombe selon u
Que v =0
Donc selon les coordonnées cylindriques on trouve que
d^v/dr^2+(1/r) d(v)/dr=0

Posté par
Flashtagre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 15:43

Flashtag @ 25-12-2019 à 15:42

Ah merci
J'ai réussi avec Navier Stoke
On tombe selon u
Que v =0
Donc selon les coordonnées cylindriques on trouve que
d^v/dr^2+(1/r) d(v)/dr=0

Posté par
diracre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 17:08

1/

\vec \nabla \cdot \vec v  = \frac{1}{r} \frac{\partial{(r v_r)}}{\partial{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial{v_{\theta}}}{\partial{\theta}}+\frac{\partial{v_z}}{\partial{z}} }

On te donne

  \vec v  = v_{\theta}(r).\vec{u_{\theta}}, donc immédiatement \nabla \cdot \vec v  = 0 ,   fluide incompressible (\frac{\partial{\rho}}{\partial{t}}=0)

2/

Citation :
Donc selon les coordonnées cylindriques on trouve que
d^v/dr^2+(1/r) d(v)/dr=0


Tu en es certain? (on doit pas avoir le même formulaire)

\frac{\partial^2{v_{\theta}}}{\partial{r}^2}+\frac{1}{r}.\frac{\partial{v_{\theta}}}{\partial{r}}-\frac{v_{\theta}}{r^2} = 0

La suite est une résolution d'équation différentielle du 2nd ordre (EV de dimension 2) dont la solution est donnée par les conditions aux limites en R1 et R2

Posté par
Flashtagre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 18:38

Je pense que vous aviez raison (car c'est ce qu'il fait trouver mais je trouve que :
v= \frac{\partial }{\partial r}(r{\frac{\partial }{\partial r}v\theta })

Posté par
diracre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 18:51

Citation :
mais je trouve que ...


Il serait interessant de partager comment tu arrives à cela pour essayer de t'aider en pointant une "erreur" dans un calcul intermédiaire

De mon côté j'utilise simplement le formulaire du Laplacien en coordonnées cylindriques
Par exemple

Posté par
Flashtagre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 20:33

De mon cote j'utilise ceci :

Posté par
diracre : Mecanique des fluides 25-12-19 à 22:31

Bon, ton formulaire n'est pas très prolixe sur les laplaciens vectoriels en coordonnées cylindriques (c'est vrai que c'est ennuyeux). Et je sens bien qu'il va falloir te convaincre par le calcul.

Alors ...    

\Delta \vec{v} = rot(rot \vec{v}) - \vec{grad}(div\vec{v})  avec ici  div\vec{v} = 0

rot(\vec{v}) = 0.\vec{u}_r + 0.\vec{u}_{\theta} + \frac{1}{r}(\frac{\partial}{\partial r}(rv_{\theta})).\vec{u}_z

Avec \frac{1}{r}(\frac{\partial}{\partial r}(rv_{\theta})) = \frac{v_{\theta}}{r} + \frac{\partial v_{\theta}}{\partial r}

Donc

rot(rot (\vec{v})) =  0.\vec{u}_r  -\frac{\partial}{\partial r}(\frac{v_{\theta}}{r} + \frac{\partial v_{\theta}}{\partial r}).\vec{u}_{\theta} + 0.\vec{u}_z

Avec -\frac{\partial}{\partial r}(\frac{v_{\theta}}{r} + \frac{\partial v_{\theta}}{\partial r}) = +\frac{v_{\theta}}{r^2} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial r}-\frac{\partial^2 v_{\theta}}{\partial r^2}

Ce qui était bien l'expression recherchée

Je t'engage à faire le calcul une fois, puis à utiliser le formulaire qui va bien. Tu auras expérimenté que la probabilité de se prendre les pieds dans le tapis est non négligeable

Posté par
Flashtagre : Mecanique des fluides 27-12-19 à 14:30

Merci beaucoup j‘ai retrouvé le même résultat pour la 2 b) il faut montrer par analogie l'expression de la force de viscosité dF qui s'exerce sur un morceau de surface dS de la paroi intérieure.

Posté par
Flashtagre : Mecanique des fluides 27-12-19 à 14:51

C'est bon j'ai appliqué la force entre deux surfaces r et r+dr et j:applique le résultat de Navier stoke pour trouver :
dF/dS =rd/dr(v/r).u

Posté par
vanoisere : Mecanique des fluides 27-12-19 à 15:39

Bonjour dirac

Citation :
\Delta \vec{v} = rot(rot \vec{v}) - \vec{grad}(div\vec{v})

Il me semble bien qu'il y a quelques problèmes de signes dans ta démonstration. Peut-être juste le passage des notations utilisant l'opérateur nabla aux notations classiques...

\overrightarrow{rot}\left[\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{v}\right)\right]=\overrightarrow{grad}\left[div\left(\overrightarrow{v}\right)\right]-\overrightarrow{\triangle}\left(\overrightarrow{v}\right)

Posté par
Flashtagre : Mecanique des fluides 27-12-19 à 16:51

On a donc confondu les notations vectorielles et les notations scalaires

Posté par
diracre : Mecanique des fluides 27-12-19 à 17:43

Merci vanoise pour ta relecture attentive... mauvaise manip lors d'un copier coller (je n'ai pas la relation sous cette forme dans mon stock Latex)
A l'époque on voulait juste annuler le Laplacien... donc je n'ai même pas pris la peine de rectifier, tout heureux d'avoir fini le calcul sans autre erreur


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2025

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !