Niveau maths spé

Mécanique des fluides

Posté par
masterrr 07-03-10 à 08:16

Bonjour,

Je débute le cours de mécanique des fluides et je ne vois pas trop comment répondre au début du problème suivant... Merci d'avance pour votre aide

Dans tout le problème, l'air sera considéré comme un fluide incompressible de masse volumique $3$ \rho$ en écoulement stationnaire sur lequel la pesanteur aura une influence négligeable. Sauf indication contraire, ce fluide sera supposé parfait.

Les obstacles solides introduits dans cet écoulement seront à géométrie cylindrique (de base a priori quelconque), avec des génératrices parallèles à l'axe $3$ (Oz)$ perpendiculaire au plan de figure $3$ (Oxy)$ . On se limitera à une étude bidimensionnelles dans le plan, les phénomènes étant supposés invariants par translation selon $3$ (Oz)$ .

$3$ \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$ désignera la base orthonormée directe associée au repère $3$ (Oxyz)$ .

Les coordonnées cylindriques d'axe polaire $3$ (Oz)$ seront notées $3$ r, \theta$ et $3$ z$ avec $3$ (Ox)$ pour origine des angles.

L'écoulement du fluide en un point $3$ M$ sera décrit par sa vitesse eulérienne $3$ \vec{v}(M)$ .

0. Étude cinématique de deux écoulements particuliers

0.1. Écoulement tourbillonnaire

On considère un écoulement orthoradial d'axe polaire $3$ (Oz)$ appelé tourbillon tel que : pour $3$ r<a, \vec{rot}\vec{v}(M)=\gamma \vec{e}_z$ où $3$ \gamma$ est une constante algébrique et pour $3$ r>a, \vec{rot}\vec{v}(M)=\vec{0}$ .

Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan $3$ (Oxy)$ si l'on considère que si $3$ a \mapsto 0$ et $3$ \gamma \mapsto \infty$ , le produit $3$ \pi a^2 \gamma$ demeure égal à la valeur finie $3$ \Gamma$ que l'on nomme intensité du tourbillon.

Établir l'expression de $3$ \vec{v}(M)$ en coordonnées polaires ( $3$ r>a$ ) avec $3$ \Gamma$ comme paramètre.

À quelle distribution électromagnétique peut-on éventuellement comparer cet écoulement ?

Posté par re : Mécanique des fluides 07-03-10 à 14:29

Bonjour,

fluide incompressible : $3$\mathrm{div}(\vec{v})=0$
rotationnel nul pour $3$r>a$ : $3$\mathrm{\vec{rot}}(\vec{v})=\vec{0$

Analogie avec la magnétostatique , donc utilise l'analogue du théorème d'Ampère, une sorte de théorème de Stokes.

Si (C) est le cercle de centre 0 et de rayon r, et S la surface du disque, alors

$3$\Bigint_{P\in\ (\scr{C})} \vec{v}(P).\mathrm{d}\vec{l}(P)\ =\ \Bigint\Bigint_{P\in\ \scr{S}}\mathrm{\vec{rot}}(\vec{v}).\mathrm{d}\vec{S}(P)$

Le deuxième terme se simplifie en un terme constant en tenant compte de la nullité du rotationnel si r>a

Posté par re : Mécanique des fluides 08-03-10 à 19:40

Bonsoir,

Merci pour la réponse gui_tou

Néanmoins, je ne comprends pas pourquoi le second terme est une constante. Si le rotationnel est nul, le terme fait 0, non ?

Posté par re : Mécanique des fluides 10-03-10 à 17:12

Il est nul si r>a. Sinon, il vaut $3$\gamma$ et on a bien $3$\Bigint_{P\in\ (\scr{C})} \vec{v}(P).\mathrm{d}\vec{l}(P)\ =\ 2\pi r.v(r)\ =\ \pi a^2\gamma$ (pour r>a)

Posté par re : Mécanique des fluides 10-03-10 à 18:09

Merci bien. J'ai compris depuis, mais sur le coup j'étais perdu.

Bonne soirée.

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