Niveau maths sup

mécanique : course cycliste

Posté par
sheigh 09-04-18 à 15:10

Bonjour à tous, voici l'exercice sur lequel je planche en ce moment :

L'arrivée d'une course cycliste se joue en ligne droite. A ce moment de la course, et jusqu'à la fin, un concurrent développement une puissance constante P. Il subit le frottement de l'air modélisé par une force $\vec{F}$
_f proportionnelle au carré de la vitesse v $\vec{v}$ . Les autres forces sont négligées et on choisit un axe horizontal (Ox) orienté dans le sens du mouvement du cycliste.

1- Appliquer le th de la puissance cinétique au cycliste pour établir l'équation différentielle vérifiée par v. Montrer qu'elle est sous la forme : m*v^2*dv/dx = k*(v^3-v^3)
2- On pose f(x) = k*(v^3_l-v^3), déduire l'équation différentielle vérifiée par f.
3- Déterminer l'expression de la vitesse en fonction de x, puis donner l'allure de l'évolution de la vitesse selon la vitesse de départ.
4- Avec une puissance développée de 2kW et une vitesse de 72km/h, déterminer le coefficient de frottement de l'air (k) et la distance caractéristique pour qu'un coureur de 85 kg atteigne sa vitesse limite, conclure.

Pour le coup je bute déjà à la première question, car P(F) = -k*v*v*v = -kv^3
Ensuite TPC : Ec = 1/2*m*v^2 $\Rightarrow$ dEc/dt = -k*3*(dv/dt)^2
Et en faisant dEc/dt = P(F) $\Rightarrow$ , je ne tombe pas sur ce qui est demandé ???

Posté par re : mécanique : course cycliste 09-04-18 à 15:38

Bonjour
Le théorème de la puissance cinétique, souvent appelée théorème de l'énergie puissance, appliqué dans un référentiel galiléen, s'écrit :

$\frac{dE_{c}}{dt}=\sum p(t)$
La dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique du système étudié est la somme des puissances instantanées des forces mises en jeu. En assimilant l'ensemble {cycliste - vélo} à un solide de masse m en mouvement de translation rectiligne selon (Ox) et en notant P la puissance instantanée développée par le cycliste, cela donne :

$\frac{d\left(\frac{1}{2}m.v^{2}\right)}{dt}=P-k.v^{3}$
Attention à tes calculs de dérivée par rapport au temps :

$\frac{d\left(v^{2}\right)}{dt}=2v.a\quad;\quad\frac{d\left(v^{3}\right)}{dt}=3v^{2}.a \\$
avec : a : accélération
Je te laisse réfléchir...

Posté par re : mécanique : course cycliste 09-04-18 à 22:11

Merci, je vois un peu mieux.
Je reprends :
dEc/dt = $\sum{}$ P
$\vec{p} = \vec{F} * \vec{v}$ = -k*v^3
Ec = 1/2 m* v^2
dEc/dt = d/dt (1/2*m*v^2) = - k*v^3
1/2*2*m*v*dv/dt = -k*v^3
m*v*dv/dt * dx/dx = -k*v^3
m*vdx/dt*dv/dx = -k*v^3
m*v^2*dv/dx = -k*v^3

Alors par contre pourquoi l'écriture v_l^3 - v^3 ? Comment on y arrive ?

Posté par re : mécanique : course cycliste 09-04-18 à 22:30

Tu oublies la puissance P fournie par le coureur. Essaye d'abord de réfléchir au sens physique de la formule déjà fournie :

$\frac{d\left(\frac{1}{2}m.v^{2}\right)}{dt}=P-k.v^{3}$
Imagine le coureur qui fournit la puissance P constante à partir d'une vitesse faible. La résistance de l'air est alors faible : P-k.v³>0 : l'énergie cinétique augmente, le coureur accélère. Dans ce cas, la force de frottement augmente, k.v³ augmente. On peut donc imaginer un cas limite où k.v³ devient égal à P : (dEc/dt) devient nul : le coureur ne peut plus accélérer. La vitesse du coureur, à P fixe, ne peut dépasser une valeur limite v_L tel que P=k.v_L³. L'équation différentielle déjà fournie peut donc s'écrire encore :

$\frac{d\left(\frac{1}{2}m.v^{2}\right)}{dt}=P-k.v^{3}=k.\left(v_{L}^{3}-v^{3}\right)$
Sous réserve d'avoir bien interprété les notations pas toutes très claires de ton énoncé...

Posté par re : mécanique : course cycliste 10-04-18 à 10:38

Je vous remercie pour vos explications très claires, et oui il y a quelques petites coquilles dans mon énoncé, mais heureusement que vous avez bien pu les voir.
Je vais essayer de continuer la suite de l'exercice.

Posté par re : mécanique : course cycliste 10-04-18 à 12:02

pour la question 2)
on pose f(x) = k*(v_l³-v³)
j'ai ensuite mis sous cette forme f(x) = -k*v³,
f'(x) = d/dx (-kv³) = -k*3*v²*dv/dx
ensuite en reprenant l'équation m*v²*dv/dx = k(v_l³-v³)
$\Rightarrow$ -m/(3*k) f'(x) - f(x) = 0
m/(3k) * f'(x) + f(x) =0
d'où l'équation diff vérifiée par f est : f'(x) + (3*m/k) * f(x) =0

3) la solution de l'équation diff de la question 2 est : A*e^{(-3*m/k) *x}
donc A*e^{(-3*m/k) *x} = k * (v_l³-v³), ensuite je pensais prendre les conditions initiales mais je me retrouve pas.

Posté par re : mécanique : course cycliste 10-04-18 à 14:54

Je crois que tu as permuté m et k dans certains calculs car ton résultat final n'est pas homogène.
L'énoncé n'est pas des plus clair... Selon la question 3) je pense qu'il faut considérer que le sprint commence en x=0 alors que la vitesse est v_o, valeur inférieure à v_L. Tu peux ainsi exprimer la constante A en fonction de k, v₀ et v_L. On te demande alors de tracer l'allure de la courbe représentant les variations de v en fonction de x, sans applications numériques.
Je viens de me renseigner un peu sur le net à propos des vitesses atteintes par les cyclistes lors d'un sprint. 72km/h correspond à un record pas à la portée du premier venu... On peut donc imaginer qu'il s'agit ici de la valeur numérique de v_L. Connaissant P, tu peux obtenir k. Par analogie avec la constante de temps souvent utilisée dans d'autres problèmes, on peut définir la distance caractéristique en posant l'exponentielle précédente sous la forme : $\exp\left(-\frac{x}{\delta}\right)$
Sans aucune garantie vue la clarté de l'énoncé !
Je te laisse rectifier et terminer.

Posté par re : mécanique : course cycliste 11-04-18 à 09:16

Je vous remercie de votre précieuse aide et vais regarder tout cela en profondeur.

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