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Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle

Posté par
Jean469 12-03-15 à 22:07

Bonjour,j'ai tenté de faire le début d'un exercice de mécanique,et je voulais savoir si mes réponses sont bonnes,ou qu'on m'aide si possible.
Voici cet exercice:

Dans un référentiel O,x,y,un point matériel M se déplace sur une spirale logarithmique.
Les coordonnées polaires du point sont:
(t)= \rho_0e^{\theta(t)} et \theta(t)=t.
ou \rho_0 et sont des constantes positives.

1)Exprimer dans le repère de projection (M,\vec{u_{\rho}},\vec{u_{\theta}}):
a)Le vecteur position du point M,
b) le vecteur vitesse instantanée du point M,
c)Le module du vecteur vitesse instantanée du point M,
d)le vecteur accélération du point M,
2)Déterminer l'expression du vecteur unitaire \vec{\tau} qui a la même  direction et sens que \vec{v(t)}
3) Après avoir dit ce que représente physiquement le vecteur accélération, tangentielle \vec{a_t} montrer que son expression s'écrit:
\vec{a_t}=\rho_0{\omega}^2e^{\omega t}(\vec{u_{\rho}}+\vec{u_{\theta}}).
Et voici mes réponses:
a)\vec{OM(t)}=(t)\vec{u_{\rho}}=\rho_0e^{\omega t} \vec{u_{\rho}}.
Puis en b),\vec{v(t)}=\frac{d(\vec{OM(t)}}{dt}=e^{\omega t}\rho_0 \vec{u_{\rho}}+\frac{d(\vec{u_{\rho}})}{dt}\rho_0 e^{\omega t}=e^{\omega t}\rho_0 \vec{u_{\rho}}+\vec{u_{\theta}}\frac{d\theta}{dt}\rho_0 e^{\omega t}=e^{\omega t}\rho_0 \vec{u_{\rho}}+\vec{u_{\theta}}\omega \rho_0 e^{\omega t}.

Ensuite,en c)Le module c'est la racine carré de (e^{\omega t}\rho_0 \vec{u_{\rho}}+\vec{u_{\theta}}\omega \rho_0 e^{\omega t}) mais c'est aussi \vec{\tau}\vec{v(t)} (tau*v(t)).
d)Le vecteur accélération quand à lui,c'est \frac{d\vec{v(t)}}{dt}={\omega}^2e^{\omega t}\rho_0 \vec{u_{\rho}}+\vec{u_{\theta}}\frac{d\theta}{dt}\rho_0 e^{\omega t}-\vec{u_{\rho}}\frac{d\theta}{dt}\rho_0 \omega e^{\omega t}+\omega e^{\omega t}\vec{u_{\theta}}\omega \rho_0={\omega}^2e^{\omega t}\rho_0 \vec{u_{\rho}}+\vec{u_{\theta}}\omega \rho_0 e^{\omega t}-\vec{u_{\rho}}\omega \rho_0 \omega e^{\omega t}+\omega e^{\omega t}\vec{u_{\theta}}\omega \rho_0.
2)D'après ce que je sais,c'est une accélération tangente à la trajectoire et parallèle à la vitesse.
Après je sais que \vec{a}=\vec{a_N}+\vec{a_T},mais j'oubli comment les trouver dans \vec{a}.

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 13-03-15 à 09:49

bonjour,

en posant r= w= O=

a) OM = r ur
b) = row ewt (ur + uO)

c) on demande le module de : v=|||| = row 2 ewt
d) a = 2row2 ewt uO

2) \vec{\tau} = / v = 1/2 ur + 1/2 uO

3) at = (a. \vec{\tau} ) \vec{\tau} = ...

sauf erreur

Posté par
Jean469re : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 13-03-15 à 18:14

Merci pour ton aide krinn,c'est plus facile de remplacé \theta par 0,c'est malin .
Mais \frac{d(\theta)}{dt} c'est non?

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 14-03-15 à 09:49

oui, dO/dt=w ici

Posté par
Jean469re : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 18-03-15 à 21:17

Ensuite,dans le reste de l'exercice,on me demande de calculer le vecteur a_N,et d'en déduire Rc(le rayon de courbure),donc je peut dire que a_N=a-a_T Rc=v²/a_N=v²/a-a_T.
Mais pas sûr que c'est ce qu'on demande.

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 18-03-15 à 21:44

bonsoir,

ta méthode donne |Rc|

pour avoir le rayon de courbure algébrique il faudrait trouver n tel que (,n) soit la base de Frénet
et écrire:
Rc = v2/(a.n)

(vecteurs en gras)

Posté par
Jean469re : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 19-03-15 à 20:02

Ok,donc selon ta méthode Rc= [(row ewt (ur + uO))²/(2row2 ewt uO)]*n;n vecteur.

Merci encore pour ton aide krinn .

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 19-03-15 à 20:12

attention!

l'expression [(row ewt (ur + uO))²/(2row2 ewt uO)]*n;n vecteur.
est plutôt curieuse

Rc = v2/(a.n) est un réel

v2 = ||||2 (c'est un réel)

et a.n est un produit scalaire donc aussi un réel

Posté par
Jean469re : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 19-03-15 à 20:59

Ah oui,euh Rc= \frac{(row \sqrt{2 ewt})^2}{\vec{a_N} \vec{n}}
mais n n'est pas donné donc on laisse comme ça.

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 19-03-15 à 21:02

n se déduit de

Posté par
Jean469re : Mécanique,coordonnées polaires,accélération tangentielle 19-03-15 à 21:33

Ok merci.


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