1)
OK, mais il faut enlever les (t) de ton expression.
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2c)

v est min pour la même valeur de t (positive) qui rend f(t) = v1² + v2² - 4ct.v2 + 4c²t² minimum.

f '(t) = - 4cv2 + 8c²t

f '(t) = 0 pour t = 4cv2/(8c²) = v2/(2c)

f '(t) < 0 pour t dans [0 ; v2/(2c)] --> f(t) est décroissante.
f '(t) = 0 pour t =  v2/(2c)
f '(t) > 0 pour t > v2/(2c) --> f(t) est croissante.

f(t) est minimum pout t = v2/(2c)

t1 = v2/(2c)
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v(0) = racine(v1²+v2²)

v(t2) = v(0) si racine(v1²+v2²-4ct2.v2 + 4c²t2²) = racine(v1²+v2²)

soit: v1²+v2²-4ct2.v2 + 4c²t2² = v1²+v2²
4ct2.v2 = 4c²t2² (et t2 différent de 0)
v2 = ct2
t2 = v2/c

y(t2) = -c.v2²/c² + v2.v2/c
y(t2) = 0 ---> donc lorsque le projectile repasse à la même altitude que le point de tir.
... Donc, si le sol est horizontal, à la retombée au sol.
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Recopier sans comprendre est inutile.

Sauf distraction.

Merci beaucoup pour ces explications J-P. Comme vous le dites, rien ne sert de recopier si l'on ne comprend pas.

Pour la date de la vitesse minimale et la date à laquelle v(t2)=v(0), j'ai compris.
Mais pour y(t2) je ne comprends pas comment vous trouvez y(t2) = -c.v2²/c² + v2.v2/c.

En posant le calcule, je trouve :

Je me permets de remonter le sujet, car je ne comprends toujours pas le point que je soulève ci-dessus...

y(t) = -ct² + v2.t

avec t2 = v2/c

y(t2) = -c(v2/c)² + v2.(v2/c)

y(t2) = -c.v2²/c² + v2²/c = 0
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Sauf distraction.