Niveau maths sup

mécanique

Posté par
Debc 04-03-18 à 19:46

Bonsoir à tous,
Alors voici mes quelques questions:
Premièrement, dans un exemple, à partir de la premiere image ils calculent le moment de la force : M_o( $\vec{F}$ )= $\vec{OM}\$ $\vec{F}$ = (r $\vec{e_{r}}$ + z $\vec{e_{z}}$ )(F $\vec{e_{\theta }}$ + F_z $\vec{e_{z}}$ )

Et je ne comprends pas pourquoi $\vec{OM}$ correspond à (r $\vec{e_{r}}$ + z $\vec{e_{z}}$ ) et $\vec{F}$ correspond à (F $\vec{e_{\theta }}$ + F_z $\vec{e_{z}}$ )

Ensuite autre chose que je ne comprends pas, ils disent que c'est égal à rF $\vec{e_{z}}$ - rF_z $\vec{e_{\theta }}$ + zF $\vec{e_{r }}$ mais ça ne devrait pas être -zF $\vec{e_{r }}$ puisque les 2 vecteurs unitaires de la base sont pris dans le désordre ?

Ensuite par rapport à la 2ème image,ils calculent le poids et font $\vec{P}= m\vec{g} = mg (cos\theta \vec{e_{r}} - sin\theta \vec{e_{\theta }})$ et je comprend pas pourquoi " $(cos\theta \vec{e_{r}} - sin\theta \vec{e_{\theta }})$ " ? (Moi j'aurais fait $\vec{P}= m\vec{g}\vec{e_{x }}$ )

Voilà merci beaucoup pour vos réponses !

mécanique

Posté par re : mécanique 04-03-18 à 20:08

Hello

Pour faire concis: (e_x, e_y, e_z) forme ton repère en coordonnées cartésiennes, tandis que (e_r, e_theta, e_z) forme le repère du système de coordonnées cylindrique.

Déclic?

Posté par re : mécanique 04-03-18 à 21:40

ah ok oui merci ! Par contre je n'arrive quand même pas à voir pourquoi cos et -sin sur la figure ? (je sais bien évidemment que c'est avec les règles de trigonométries mais je n'arrive pas à voir sur le schéma cos et -sin)

et sinon des idées pour les questions sur la 1ere figure ?

Posté par re : mécanique 05-03-18 à 10:54

Hello

A faire une fois pour ne plus oublier ...

$\vec{OM} = x.\vec{e}_x+y.\vec{e}_y+z.\vec{e}_z$

Dans le repère des coordonnées cylindriques

$\vec{e}_r = cos\theta.\vec{e}_x + sin\theta\vec.{e}_y$
$\vec{e}_{\theta} = -sin\theta.\vec{e}_x + cos\theta.\vec{e}_y$

Réciproquement

$\vec{e}_x = cos\theta.\vec{e}_r - sin\theta\vec.{e}_{\theta}$
$\vec{e}_y = sin\theta.\vec{e}_r + cos\theta.\vec{e}_{\theta}$

Avec

$x = rcos\theta$
$y = rsin\theta$

Donc

$\vec{OM} = r\vec{e}_r+z.\vec{e}_z$

La figure (1) laisse entendre que \vec{F} est contenue dans le plan tangent au cylindre de base le cercle de rayon r et d'axe Oz. La composante $F_r$ est donc nulle, restent les 2 autres:

$\vec{F} = F_{\theta}.\vec{e}_{\theta} + F_{z}.\vec{e}_{z}$

Concernant le produit vectoriel $\vec{OM}\wedge\vec{F}$

$\vec{e}_r\wedge\vec{e}_{\theta} = \vec{e}_z$
$\vec{e}_{\theta}\wedge\vec{e}_{z} = \vec{e}_r$
$\vec{e}_{z}\wedge\vec{e}_{r} = \vec{e}_{\theta}$

Les lois de la distributivité font le reste

Enfin, tu as raison en écrivant $\vec{P} = m\vec{g} = mg\vec{e}_x$

Avec ce qui a été écrit plus haut on retrouve bien

$\vec{P} = m\vec{g} = mg(cos\theta.\vec{e}_r - sin\theta\vec.{e}_{\theta})$