En plus de l'énergie cinétique, les freins doivent aussi reprendre le travail du poids.

Soit L le distance de freinage et F la force de freinage (supposée constante pendant tout le freinage) , on a :

1/2.m.Vo² + m * g * L * sin(alpha) = F * L  (avec alpha l'angle entre le plan incliné et l'horizontale)

L'énergie à dissiper par les freins est donc ; E = 1/2.m.Vo² + m * g * L * sin(alpha)

Le tout en unité SI (par exemple).

Mais attention qu'on ne peut pas choisir ce qu'on veut comme distance de freinage L

Si f est le coefficient de frottement entre les pneus et la route, on doit avoir F <= f * m*g*cos(alpha)

Et donc : 1/2.m.Vo² + m * g * Lmin * sin(alpha) = f * m*g*cos(alpha) * Lmin

1/2 .Vo² + g * Lmin * sin(alpha) = f * g*cos(alpha) * Lmin

Lmin = Vo²/[2g * (f * cos(alpha) - sin(alpha)]  (distance minimum de freinage).
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Avec alpha = arctan(0,4) = 0,38 rad (21,8°) et par exemple f = 0,7 (dépend de l'état des pneus, de l'état de la route, du fait que la route est sèche ou humide ...)

On a Lmin = (25/3,6)²/(2*10*(0,7*cos(0,38) - sin(0,38))) = 8,6 m

L'énergie à dissiper dans les freins est :

E = 1/2.m.Vo² + m * g * L * sin(alpha)

E = 1/2 * 40 * (25/3,6)² + 40 * 10 * sin(0,38) * L

E = 965 + 148 * L  (avec E en J et L en m (avec L > 8,6))

A recalculer évidemment si le coeff de frottement pneus-route est différent de 0,7 ...

Sauf distraction.  

Merci !! Mais je me demandais si ce n'était pas une trop grosse approximation de prendre l'énergie cinétique total du vélo au lieu de considérer les sous systèmes que représente chacune des roues le calcul ne serait il pas plus exacte en prenant en compte le moment d'inertie et l'énergie cinétique produite par la rotation de chaque roue ?  

Par ailleurs   est ce que ce n'est pas plutôt  1/2.m.Vo² + m * g * L * cos(alpha). et est ce que c'est le théorème de l'énergie cinétique que vous utiliser en disant que  (1/2.m.Vo² + m * g * L * sin(alpha) = F * L ).

De plus je n'ai pas bien compris le calcul liée a la distance d'arrêt surtout la détermination de la distance de freinage.

C'est clair que si on connait les caractéristiques des masses tournantes, il faudrait en tenir compte dans le calcul de l'énergie cinétique ... mais sans aucune donnée à leur sujet, on ne peut pas faire grand chose que de les estimer négligéables devant l'énergie cinétique de translation.

Pour le reste :

E cinétique au départ + travail du poids sur la distance de freinage (jusque l'arret) = travail de la force de freinage.

Qui se traduit par : 1/2.m.Vo² + m * g * L * cos(alpha)  =  E freins.

Ce qui avec les données numériques de l'exercice donne :

E freins = 965 + 148 * L

Donc l'énergie dissipée dans les freins varie avec la distance de freinage L
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Or, la valeur de L (distance de freinage) ne peut pas être inférieure à celle qui amène les roues à la  limite du glissement et cette Lmin se calcule donc comme fait dans ma réponse précédente.

F frottement max  roue-pneus = coeff de frottement roue pneu * composante normale de la réaction de la route sur le vélo ce qui donne :

F max =  f * m*g*cos(alpha)  (avec f le coeff de frottement toute-pneus)
...

Sauf distraction  

D'accord je comprend mieux.

Quand vous parlez de "caractéristiques des masses tournantes"   de quelles caractéristique par exemple vous parlez ?

et comment cela changerais par exemple juste sur le calcul de l'énergie du système en mouvement ?

"caractéristiques des masses tournantes"

Dimensions et formes.

Le moment d'inertie d'une roue par rapport à son axe de rotation dépend des dimensions, des formes et des masses des différentes parties.
Roues à rayons,  à barreaux,  lenticulaire ...

Si R est le rayon de la roue et J son moment d'inertie :

Si le vélo avance à la vitesse v, l'énergie cinétique de rotation de la roue est 1/2.J*v²/R²

L'énergie cinétique totale pour le vélo de masse m (au total, avec les roues) qui roule à une vitesse v est :

Ec = 1/2.m.v² + 1/2.J1*v²/R1² + 1/2.J2*v²/R2²

Avec R1, J1 les rayon et moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation de la roue avant.
et
R2, J2 les rayon et moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation de la roue arrière.

Donc, pour l'énergie dissipée dans les freins on partirait de :

E freins = 1/2.m.Vo² + 1/2.J1*v²/R1² + 1/2.J2*v²/R2² + m * g * L * cos(alpha)

D'accord merci pour tes explications claire !!!