Qu'est ce que M ?
Je suppose que c'est le centre d'inertie de la particule

Qu'est ce que O ?
Je suppose que c'est l'origine du repère.

L'angle est appelé "theta" et pas "tita"
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Une manière parmi d'autres :

x = r.cos(theta) = ro * e^(t/a) * cos(t/a)
y = r.sin(theta) = ro * e^(t/a) * sin(t/a)

angle de OM par rapport à l'axe où theta = 0 : theta

dx/dt = (ro/a) * e^(t/a) * cos(t/a) - (ro/a) * e^(t/a) * sin(t/a)
dx/dt = (ro/a) * e^(t/a) * (cos(t/a) - sin(t/a))

dy/dx = (ro/a) * e^(t/a) * sin(t/a) + (ro/a) * e^(t/a) * cos(t/a)
dy/dt = (ro/a) * e^(t/a) * (cos(t/a) + sin(t/a))

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
dy/dx = (cos(t/a) + sin(t/a))/(cos(t/a) - sin(t/a))
dy/dx = (cos(theta) + sin(theta))/(cos(theta) - sin(theta))
dy/dx = tan(Pi/4 + theta)

angle de la vitesse par rapport à l'axe où theta = 0 : Pi/4 + theta

l'angle que fait à chaque instant le vecteur V avec le vecteur OM = Pi/4 + theta - theta = Pi/4
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Sauf distraction.  

Merci bien J-P

Mais dans l'exercice il n'ya aucune information sur M.
Est ce qu'on doit savoir que c'est 'Je suppose que c'est le centre d'inertie de la particule' .

Encore une fois merci bien pour vous.

Mais J-P , aucune information sur M, n'est mentionnée dans l'exercice ?

Peut-on utiliser produit scalaire ?