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mécanique
Bonjour ,
la suspension d'une voiture de masse vide M est constitué :
d'une ressort de masse négligeable,de raideur k et de longueur libre l o
d'une amortisseur de masse négligeable qui exerce sur la voiture une force de frottement F=-b v
je dois étudier dans un premier temps le systeme :voitude a vide
et ensuite le systeme S={voiture+passagers} (4 passagers de masse totale m
donc dans le premier cas j'applique le PFD.....
et je trouve
M(d²x/dt²)=-Mg+b(dx/dt)+k(l-lo)
en prenant l'origine au niveau de la position d'équilibre l=x+leq
=> M(d²x/dt²)=-Mg+b(dx/dt)+k(x+leq-lo)
or leq=(Mg/k)+lo
=> M(d²x/dt²)=-Mg+b(dx/dt)+k(x+Mg/k)
=> M(d²x/dt²)=+b(dx/dt)+kx
=> (d²x/dt²)-(b/M)(dx/dt)-(k/M)x =0
je pose k/M=wo² et b/M=2B
=> (d²x/dt²)-2B(dx/dt)-wo²x =0
on me demande l'équation du mvt de la voiture a vide, mais il y a plusieur cas ...?
et ensuite on me demande de déterminer le coefficient de b en fonction de k et M pour que le régime d'amortissement des oscillations soit critiques lorsque la voiture est vide.
Or je ne comprends pas , la voiture est vide , ce ne devrait pas etre un regime speudo périodique?
merci de votre aide
aparament j'ai fais une faute de signe et sa donnerait plutot
(d²x/dt²)+(b/M)(dx/dt)+ (k/M)x =0
mais je ne vois pas pourquoi quelqu'un pourrait m'expliquer svp
Salut, en regardant vite fait ton raisonnement, l'équation semble correcte.
Si ta voiture est vide, tu la voir osciller toi ?
Il suffit donc de déterminer l'équation caractéristique, de coculer le discriminant (nul car régime critique), ...
A partir du dessin.
Pour une vitesse positive (la masse M monte) :
Delta L du ressort à l'équilibre = Mg/k
à la position du dessin:
Force ressort = k.(x - Mg/k) est vers le bas
Poids de la masse = Mg est vers le bas
Force de l'amortisseur = b.v est vers le bas
La resultante des forces sur la masse est donc (en prenant le sens positif des forces vers le haut) :
R = - k.(x - Mg/k) - Mg - bv
(il y a des moins partout car toutes les forces sont dirigées vers le bas)
R = - k.(x - Mg/k) - Mg - bv
R = - kx + Mg - Mg - bv
R = - kx - bv
R = -kx - b.dx/dt
Et R = M.d²x/dt²
--> M.d²x/dt² = -kx - b.dx/dt
d²x/dt² = -k/M .x - b/M .dx/dt
d²x/dt² + b/M .dx/dt + k/M x = 0
Sauf distraction. 
Salut J-P je suis content de te revoir parmi nous
Pour ce qui est de cet exercice, tu trouves la même équation différentielle que lui
Salut gbm,
Je trouve pareil que dans le message du 04-10-09 à 18:28.
Mais d'après ce qu'a écrit T-T, il trouve autre chose (voir son premier message) et il ne comprenait pas que la réponse devait être celle de son deuxième message probablement donnée dans un corrigé.
Sauf si j'ai mal compris ce que T-T a voulu écrire.
enfin j'ai parlé trop vite , ce qui me pose problème , c'est le ressort
Pour moi , il est comprimé avec la masse de la voiture , donc il exerce une force vers le haut
encore bonjour
alors dans la 2 eme partie de l'exo , on me demande d'étudier le cas ou il y a 4 passagers de masse m dans la voiture de masse M
on fait la meme chose , mais avec une masse m+M
cependant dans ce cas l'équilibre doit changer non?
On a -(m+M)g-b(dz/dt) -k(z+leq -lo)=(d²z/dt²)(m+M) en prenant l'origine au point d'équilibre
or leq=(m+M)g/k+lo
donc l'équation devient -(m+M)g -b(dz/dt) -kz -(m+M)g=(d²z/dt²)(m+M)
=> (d²z/dt²)+ (b/(m+M))*(dz/dt) +(k/(m+M))*z=M+mg
or je devrais trouver
d²z/dt²)+ (b/(m+M))*(dz/dt) +(k/(m+M))*z= (-m/(m+M)) *g
et je ne vois vraiment pas ou est mon erreur :/
merci
Raisonne autrement.
Quel est le sens de la force résultante du poids de la masse et de l'action du ressort si la masse est plus haut que la position d'équilibre ?
Cette résultante est evidemment vers le bas, en effet si on maintient la masse plus haut que le point d'équilibre, si on la lache, elle va descendre.
Comme la direction positive des déplacements a été choisie vers le haut, si x est > 0, alors la force résultante du poids de la masse et de l'action du ressort si la masse est plus haut que la position d'équilibre est vers le bas et donc négative.
Or dans ton raisonnement tu as écrit :
=> M(d²x/dt²)=-Mg+b(dx/dt)+k(x+Mg/k)
=> M(d²x/dt²)=+b(dx/dt)+kx
Là dedans, kx est la force résultante du poids de la masse et de l'action du ressort et elle est > 0 si x > 0 (masse plus haut que le point d'équilibre), donc cette résultante seule (sans l'amortisseur) donnerait une accélération positive (donc vers le haut) de la masse, ce qui est évidemment faux.
sa signifie donc que quand la voiture est chargé (4 personnes de masse m) , la masse est en dessous sont point d'équilibre ?
merci pour vos réponses détaillés et veuillez m'excusez sur la répétition de mes questions
sa signifie donc que quand la voiture est chargé (4 personnes de masse m) , la masse est en dessous sont point d'équilibre ?
Pas vraiment.
Le point d'équilibre est tout simplement plus bas avec la voiture chargée que si la voiture est à vide.
oui c'est vrai ^^ , ma question était idiote.
Mais je suis complétement bloqué dans cette partie de l'exercice
On a -(m+M)g-b(dz/dt) -k(z+leq -lo)=(d²z/dt²)(m+M) en prenant l'origine au point d'équilibre
or leq=((m+M)g/k)+lo
donc l'équation devient -(m+M)g -b(dz/dt) -kz -(m+M)g=(d²z/dt²)(m+M)
=> (d²z/dt²)+ (b/(m+M))*(dz/dt) +(k/(m+M))*z=(M+m)g
or je devrais trouver
(d²z/dt²)+ (b/(m+M))*(dz/dt) +(k/(m+M))*z= (-m/(m+M)) *g
et je ne vois pas ou est mon erreur , donc soit cette solution est fausse , soit je suis completement aveugle
hey bien on est exactement dans la meme situation que losque la voiture est a vide sauf de la masse change
A vide, tu as ceci:
d²x/dt² + b/M .dx/dt + k/M x = 0
------
Si on prend l'origine des x (z chez toi) à la position d'équilibre, l'équation pour la voiture chargée est la même mais en remplaçant M par M + m
On arrive donc à : d²x/dt² + b/(M+m) .dx/dt + k/(M+m) x = 0
Mais ceci avec le point d'équilibre et donc l'origine de l'axe des déplacement plus bas que dans le cas de la voiture à vide.
Si on veut conserver l'origine des déplacements verticaux à l'endroit où il était avec la voiture à vide, il faut faire une translation verticale correspondant à l'écrasement supplémentaire du ressort avec la masse m.
La masse m à un poids mg --> écrasement du à cette charge seule : E = mg/k
Il faut donc décaler en vertical de mg/k, c'est un déplacement constant et donc rien à voir avec les termes en dx/dt et en d²x/dt².
Le rattrapage dans l'équation doit donc se faire uniquement sur le terme en x.
x devient X + mg/k, l'équation devient alors :
d²X/dt² + b/(M+m) .dX/dt + k/(M+m) (X + mg/K) = 0
d²X/dt² + b/(M+m) .dX/dt + k/(M+m).X + mg/(M+m) = 0
d²X/dt² + b/(M+m) .dX/dt + k/(M+m).X = -mg/(M+m)
C'est l'équation pour la voiture chargée mais en ayant conservé l'origine des déplacement verticaux à la position de repos de la voiture à vide.
-----
Sauf distraction.
Entre les positions au repos de la voiture à vide et de la voiture en charge, il y a un décalage vertical du à l'écrasement supplémentaire du ressort du à la charge.
La charge de masse m a un poids = mg et cette charge ajoute un écrasement E du ressort tel que:
mg = k.E
Donc E = mg/k est l'écrasement supplémentaire du ressort du à la charge.
Il suffit donc de faire un décalage vertical d'une longueur = mg/k, soit une translation d'axe tel que x = X + mg/k
L'équation : d²x/dt² + b/(M+m) .dx/dt + k/(M+m) x = 0 correspond à la voiture chargée et avec l'origine des déplacement verticaux au point de repos avec voiture chargée.
Si on remplace x par X + mg/k, on obtient donc l'équation :
d²X/dt² + b/(M+m) .dX/dt + k/(M+m).X = -mg/(M+m) qui correspond à la voiture chargée mais avec l'origine des déplacement verticaux au point de repos avec voiture à vide.
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