Bonsoir,
v = -gt + v₀
z(t) = -(1/2)gt² + v₀t + z₀
z(t) = -5t² + v₀t + z₀
z(t) = -5t² + 10t + 5

g est dirigé vers le bas donc négatif...

merci
pour la b)  ca fait donc
discriminant = 100-4*-5*5 = 200
non ca va pas comment fait t-on pour obtenir t1?

L'instant t₁ où le mobile s'arrête, c'est quand la vitesse s'annule.
v = -gt + v₀
v = -10t₁ + 10 = 0
t₁ = 1

mais l'accélération g est égale à 0 aussi lorsque le mobile s'arrète non?

Non, l'accélération g, c'est la pesanteur... Que l'objet soit en mouvement ou non, elle existe toujours (c'est l'attraction terrestre).
Quand le mobile s'arrête (v = 0), il ne s'arrête pas longtemps car il repart dans l'autre sens (à cause de g ! ).

sinon d'après ton résultat de ce fait z(t1)= 10

j'ai une autre question ensuite, etudier la nauture du mouvement et déterminer le temps au bout duquel le mobile repasse à sa position initial.

alors j'ai di que le mouvement était rectiligne décéléré mais pour la suite de la question
comment le mobile peut repasser à sa position initial si il est rectiligne.

j'ai compris merci je ne voyais le mobile que comme un objet je ne pensai pas qu'il revenai et bien le mobile donc pour repasser à sa position initiale va t-il mettre de temps ?
si j'ai compris
je pense que v(t1)=0
donc

je sais pas que fais le mouvement dans ce cas il accélère
donc  z(t1)=10 et v(t1)=0

v_z(t)=gt+v₁
z(t)=1/2 gt² + v₁t + z₁

v=gt+v1= 10 t+0
je sais pas je mélange tout la

z(t) = -5t² + 10t + 5
t = 1 z(t1) = 10 en effet...
La position initiale est z = 5 m.
Le mouvement est rectiligne accéléré (en fait, c'est une chute libre depuis la hauteur de 10 m avec une vitesse initiale nulle).
On a un nouveau mouvement avec une vitesse initiale nulle donc :
a = -g
v = -gt    
z(t) = -(1/2)gt² + 10   (puisque z(0) = 10 dans ce nouveau mouvement)

Il repasse donc à  z = 5 m :
5 = -(1/2)gt² + 10
-(1/2)gt² = 5 - 10
gt² = 10
t² = 10 / 10 = 1
t = 1 s

j'ai compris merci mais petite question pourquoi la gravitation est négative ici enfin car j'aurais mis 5 = (1/2)gt2 + 10
c'est une erreur de ma part mais je ne comprend pas pourquoi
g est la gravitation mais elle reste du même coté enfin en bas du mouvement
donc dans le sens positif du mouvement
donc positif
je di surement une bétise mais je préfère tout comprendre et comme j'ai vraiment du mal avec la mécanique

Tout simplement parce que, dans l'énoncé, on dit :
"...sur Oz axe vertical orienté positivement vers le haut..."
Donc, si l'axe est orienté positivement vers le haut, g qui est dirigé vers le bas, est donc négatif (g n'a de composante que sur z).
Quand je dis négatif, il faut bien comprendre que g = 9,81 (ou 10 comme dans l'énoncé) et que l'accélération est -g (-9,81 ou -10) parce qu'elle est dirigée vers le bas.
Si on oriente l'axe positivement vers le bas (on a le droit de le faire ! ), g est positif...

ok je pense avoir compris merci beaucoup pour ton aide