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Mécanique 14
Bonsoir,
Voici un autre exercice sur lequel je bloque ce soir :
Une station spatiale 𝑆 est en orbite circulaire autour de la Terre de centre . Le rayon de l'orbite est
et la vitesse angulaire de la station est notée
. On introduit le référentiel
centré sur la station et en rotation par rapport au référentiel
supposé galiléen. A un instant pris comme instant initial, un cosmonaute
de masse
se trouve séparé du vaisseau avec une vitesse relative
. On se propose d'étudier le mouvement de
dans le référentiel
de la station sous l'influence du champ de gravitation de la Terre. La position instantanée de
est donnée par
.
1) On considère . Montrer que les équations du mouvement du cosmonaute dans le référentiel
sont , au premier ordre, :
.
2) On suppose que . Quelle est la trajectoire de
?
Quelle est la distance maximale de
à la station au cours de son mouvement ? Retournera-t-il à la navette ? Si oui en combien de temps ?
3) On suppose que .Mêmes questions qu'au 2).
c) On suppose que . Mêmes questions qu'au 2).
Dans quelle direction préfériez-vous quitter le vaisseau ?
Pour la première question, en faisant un PFD, je situe d'où certains termes proviennent grâce à la force de Coriolis, mais je n'arrive pas à bien comprendre comment formuler les autres forces.
J'ai d'abord chercher la valeur de :
.
Mais ensuite, je ne vois pas comment faire les DL qui suivent pour avoir la réponse..
Voici, pour moi, les forces en jeu pour faire le PFD sur C :
pour l'interaction gravitationnelle avec la Terre.
pour la force de Coriolis.
pour la force d'inertie d'entraînement (mais là je ne suis pas vraiment sûr...)
Je n'ai rien pour donc quelque chose ne va pas, pouvez me dire ce que je fais mal ?
Question préliminaire à propos des repère d'étude : cela est évidemment primordial pour la suite...
A priori Rg est un repère géocentrique.
Ma question concerne Rs : comment sont orientés ses axes ? Si tu es équipé pour, un scan du schéma serait le bienvenu.
Je t'ai rappelé il y a peu l'expression de la pseudo force d'inertie de Coriolis.
Rien n'est indiqué dans l'énoncé, j'ai donc essayé de deviner. Je n'ai pas de scan, je vais essayer de vous expliquer ce que j'ai :
Rs est, pour moi, un repère à coordonnées polaires locales à la station S, de telle sorte que le vecteur k corresponde à celui du repère géocentrique, et que la base du repère soit directe.
Cela implique pour moi que et que
.
Pour la pseudo force de Coriolis, il s'agit de la vitesse de C dans le référentiel Rs n'est-ce pas ?
Les deux boules, modélisées par des points matériels de masse m, sont contraintes de se déplacer sur l'axe des x.
Exact : la formule fait intervenir la vitesse relative et non la vitesse absolue.
En absence de schéma, je pense que ta définition des repères est correcte et logique par rapport à la suite de l'énoncé.
Pour tes expressions des forces :
-d'accord avec toi pour les deux pseudo forces d'inertie ;
-pas d'accord pour la force de gravitation :
Retiens bien la méthode ; elle est souvent utile ! Je te laisse projeter sur les axes et simplifier...
Au fait : merci d'avoir la correction d'utiliser l'éditeur d'équation ; cela facilite la lecture et la compréhension dès qu'un problème se complique un peu !
désolé ! Problème de "copier-coller" entre les deux posts menés de front :
Ici : il faut lire :
Pour la pseudo force de Coriolis, il s'agit de la vitesse de C dans le référentiel Rs n'est-ce pas
Exact : la formule fait intervenir la vitesse relative et non la vitesse absolue.
Ok, j'ai tout trouvé jusqu'à la 3), où je bloque. Je comprends que le mouvemente sera dans le plan (XSY), mais j'avoue ne pas savoir comment faire..
Comment faire pour résoudre correctement, et pour ensuite déterminer la trajectoire ?
Oui, j'avais deviné ne t'en fais pas !
Et c'est normal, LaTeX est tellement plus pratique, c'est normal que je l'utilise !
La troisième équa dif n'est pas couplée : elle a une solution de la forme :
Je te laisse trouver A et B à partir des conditions initiales.
La seconde peut s'intégrer en :
Tu peux trouver la constante K en fonction des conditions initiales. Remplace alors dans la première par l'expression que tu viens d'obtenir. Tu vas tomber sur quelque chose d'assez simple...
Mais il n'y a pas de vitesse selon Z au départ, et comme Z n'apparaît nul part ailleurs, il n'y a pas de raison qu'il y ait un mouvement dans cette direction, non ?
On peut toujours résoudre, mais A=B=0..
Effectivement, c'est bien vu..
Je trouve puis
.
La trajectoire ressemble un peu à une ellipse..
il n'y a pas de vitesse selon Z au départ, et comme Z n'apparaît nul part ailleurs
Le résultat z = 0
t aurait été évident s'il n'y avait eu ni vitesse initiale ni force selon Oz. Ici, je crois qu'il vaut mieux faire la démonstration.
La trajectoire ressemble un peu à une ellipse
C'est une ellipse ! Opère le changement de variables :
Écris ensuite la relation entre le carré du sinus et le carré du cosinus...
D'accord.
Je n'ai jamais manipulé l'équation cartésienne d'une ellipse (les coniques ne sont plus à mon programme).
Je vais travailler ça.
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