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Méca Lagrange : problème à deux corps

Posté par
polyurethane 04-10-16 à 17:12

Salut !

J'ai un problème avec une annale de mécanique de Lagrange, j'espérais que vous pourriez m'aider :

J'ai un système composé d'un bloc de masse $M$ qui se déplace sans frottements sur l'axe horizontal Ox. Lors de ce mouvement, il etire et comprime deux ressorts de raideur $k$ (Loi de Hooke vérifiée). De plus un objet de masse $m$ est attaché à un fil inextensible de masse négligeable et de longueur $l$ au bloc de masse $M$ . (Il effectue un mouvement oscillant dans le plan xy) Le champ gravitationnel est selon $\vect{e_y}$ , dirigé vers le bas. Finalement, les deux ressorts sont à l'équilibre quand ils ne sont pas dilatés ou comprimés ( $l_e = l_0$ )

Il faut donner le nombre de degrés de liberté du système pour commencer, et je ne sais pas le faire :

Pour moi 2 corps avec une contrainte sur le mouvement horizontal de la masse $M$ et une autre sur la longueur $l$ du fil implique deux ddl (2 coordonnées généralisées $x$ et $\theta$ (l'angle entre le fil et $\vect{e_y}$ )

Ensuite, il faut en déterminer le Lagrangien du système, et j'avoue que la je sèche complètement... Comment exprimer les énergies cinétiques et potentielles ? Mon choix de coordonnées est il bon ?

Merci de votre aide

Posté par re : Méca Lagrange : problème à deux corps 04-10-16 à 22:43

Bonsoir
Tu as plutôt bien décrit le dispositif, mais sans figure, je me trompe peut-être. Si le dispositif que j'imagine est le bon :
- tu as effectivement 2 degrés de libertés : les deux paramètres de positions sont x (élongation du centre d'inertie de la masse M en translation) et .
- l'énergie potentielle est une somme de 2 termes : l'énergie potentielle élastique de l'ensemble des 2 ressorts : 2.½. k.x²=k.x² et l'énergie potentielle de pesanteur de la masse m : $m.g.l\left[1-\cos\left(\theta\right)\right] \\$
-l'énergie cinétique est une somme de deux termes : l'énergie cinétique de translation de M : $\frac{1}{2}M.\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}$ et l'énergie cinétique de la masse m : $\frac{1}{2}m.v^{2}$ .
Attention : v désigne la vitesse de m par rapport à la terre. Il faut utiliser la méthode de composition des vitesse pour obtenir son expression.

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