mg - kv = m dv/dt

dv/dt + (k/m)v = g
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La manière "classique" de résoudre ce type d'équation est bien  de :

a) Chercher LES solutions de l'équation dite "sans second membre", soit ici les solutions de dv/dt + (k/m)v = 0
b) Chercher une solution particulière de l'équation "avec second membre", soit de dv/dt + (k/m)v = g
c) écrire les solutions générales de l'équation "avec second membre" en sommant les solutions trouvées en a et en b.
d) trouver la ou les valeurs des constantes d'intégration par les conditions initiales.
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Solution de dv/dt + (k/m)v = 0 :
v = C.e^((-k/m)t)

Solution particulière de dv/dt + (k/m)v = g :
v = mg/k

Solutions générales de dv/dt + (k/m)v = g :
v(t) = mg/k + C.e^((-k/m)t)

Condition initiale : v(0) = 0 --> 0 = mg/k + C
C = -mg/k

Et donc finalement : v(t) = (mg/k) * (1 - C.e^((-k/m)t))

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Il n'y a pas de "bonne" raison de procéder autrement.

Bonsoir , merci de votre réponse . Nous sommes d'accord ; c'est comme cela que j'ai procédé .  Mais je voulais savoir comment le faire par intégration , tel cela :

On considère l'equation différentielle suivante :



Tout d'abord , je résous l'équation homogène
C'est là que la "méthode" diffère . Notre prof nous as conseillé de résoudre par intégration en écrivant :


Soit , au final :

Ensuite le reste de la démarche est similaire .

Toujours faire comme le prof préfère même si il a tort ...  

Je ne suis pas prof, mais si tu avais écris la résolution comme dans ton précédent message, cela m'aurait fait tiquer.

Je suis très mal à l'aise (pour le second membre) d'intégrer avec t comme variable ... et avoir des bornes d'intégration dépendant de ce même t.

Et pour le membre de gauche, la variable d'intégration est vz (puisque on a dvz) ... et donc le membre de gauche donne ln|vz| ... avec une des bornes d'intégration étant t ...
Oui mais comme t n'apparaît pas dans l'écriture  ln|vz|, comment y appliques-tu les bornes d'intégration ?

C'est peut-être quelque chose qui se fait ... mais moi je ne le ferai jamais.  

Atends qu'un prof passe par ici, il aura peut être les "bonnes" explications.

Imprécision de ma part :



Si je pose ;
J'ai et là je peux intégrer .
Oui en effet , c'est troublant la 1ère fois qu'on ait le temps dans les bornes sachant que c'est la variable d'intégration . Mais on utilise aussi ce procédé en chimie pour les vitesses de réactions .

Oups ,

Tant qu'à faire utiliser l'A.N.S.

dvz/dt + a.vz = 0

est une équation à variables séparables :

dvz/vz = - a.dt

et par intégration on a directement : ln|k.vz|= -a.t

vz = C.e^(-at)

Mais tous les chemins mènent à Rome, des directs et de plus tortueux.

Nous sommes d'accord , merci du coup de main