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matrice d'inertie

Posté par
azerty4 31-10-18 à 12:23

Bonjour

On souhaite prouver que l'expression ci contre est égale à la matrice d'inertie du solide au point A multipliée par le vecteur rotation du solide   $\int \vec OP * ( \vec \Omega * \vec OP ) dm =  \vec \Omega \prod _{A}^{Ro }$

P point  quelconque du solide, O origine (* = produit vectoriel)
On décomposant le triple produit vectoriel j'arrive à
$\int \vec \Omega (OP ^2 ) dm - \int \vec AP ( \vec OP . \vec \Omega ) dm$

On reconnait à gauche, en sortant le vecteur rotation de l'intégrale, la définition de la matrice d'inertie du solide au point A , et on retrouve bien ce que l'on voulait (multiplication de la matrice d'inertie et du vecteur rotation)

Mais je n'arrive pas à monter que   $- \int \vec OP ( \vec OP . \vec \Omega ) = \vec 0$

Merci d'avance pour votre aide

Bonne journée !

Posté par re : matrice d'inertie 31-10-18 à 12:39

Bonjour

$\int\left(OP\right)^{2}.dm$ ne représente pas la matrice d'inertie du solide. Je pense qu'il faut faire le calcul direct. Tu le trouveras ici :

Les notations sont un peu différentes. Il te suffit de poser :

$\overrightarrow{\Omega}=\Omega\cdot\overrightarrow{u}$

Posté par re : matrice d'inertie 31-10-18 à 13:15

Bonjour et merci beaucoup pour votre réponse !

Ici le vecteur $\vec \Omega$ représentait le vecteur rotation du solide par rapport au référentiel R₀

Je ne vois pas où est évoqué le vecteur rotation dans le document (mais j'ai peu etre mal compris les notations)

Merci encore

Posté par re : matrice d'inertie 31-10-18 à 14:01

$\overrightarrow{\Omega}=\Omega\cdot\overrightarrow{u} \\ \\ \int\overrightarrow{OP}\wedge\left(\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OP}\right)\cdot dm=\Omega\cdot\int\overrightarrow{OP}\wedge\left(\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{OP}\right)\cdot dm$
Le document détaille le calcul de la seconde intégrale.

Posté par re : matrice d'inertie 31-10-18 à 14:24

C'est donc en développant cette intégrale que l'on retrouve la matrice d'inertie $\begin{pmatrix} A &-F &-E \\ -F & B &-D \\ -E & -D & C \end{pmatrix}$

avec le vecteur devant

On peut donc considérer comme un résultat connu (pour ne pas se retaper la démonstration à chaque fois) que

Posté par re : matrice d'inertie 31-10-18 à 14:25

$\int \vec {OP} \wedge (\vec u \wedge \vec {OP}) dm = \begin{pmatrix} A &-F &-E \\ -F & B &-D \\ -E & -D & C \end{pmatrix} \vec u$ , c'est ca ?

Et en remplaçant u par notre vecteur rotation on retrouve la formule

Posté par re : matrice d'inertie 31-10-18 à 14:28

C'est bien cela ! Le calcul est développé sur le document.

Posté par re : matrice d'inertie 01-11-18 à 15:24

Merci beaucoup Vanoise !

Bonne journée

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