Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire

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Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire
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Sheeft  15-09-11 à 17:17
Bonjour à tous,

J'ai un problème pour lequel je pense être arrivé presque au bout, mais je n'arrive pas à le terminer :

Citation :
On considère un fil inextensible de longueur l attaché à l'une de ses extrémités en A. Une masse m, assimilée à un point matériel M, est suspendue à l'extrémité inférieure et décrit un cercle horizontal à la vitesse angulaire de rotation ω constante. On note α l'angle formé par le fil avec la verticale descendante.

1. Exprimer l'accélération du point M dans la base .

2. Par projection du principe fondamental de la dynamique, établir les deux expressions possibles pour l'angle α. Préciser à quelle condition sur ω l'une de ses solutions existe.

Pour la première question, j'ai d'abord exprimé  l'accélération du point M en dérivant le vecteur OM, et en prenant r la distance OM définie par r = l.sin(α) et θ l'angle de rotation dans le plan horizontal.

J'ai simplifié avec θ' = ω = cste et donc dω/dt = 0.

J'obtiens donc finalement : .

Ensuite pour la question 2, je dis que le point M est soumis à deux forces : son poids et la tension du fil. Or M ne change pas d'altitude au cours du mouvement donc la composante verticale de la tension compense le poids. Il ne reste donc plus comme résultante que la composante horizontale (ie suivant ) de la tension.

On la note  avec k>0 (car la force est centripète par rapport à O, le centre du cercle de la trajectoire).

D'après la deuxième loi de Newton, on a  donc rω2 = k soit lsin(α)ω2 = k.

On a donc sin α = k/(lω2).

Seulement, après ce point je ne sais pas trop comment conclure… Dois-je utiliser la fonction sin-1 pour exprimer la réponse ?

La condition sur ω, c'est ω≠0 ?

Merci.
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efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 18:27
salut

tu dois projeter ton PFD sur les deux axes pour exprimer T en fonction de a, l et w

ton k n'a aucune existence physique, tu dois pouvoir trouver une relation entre a, l, w, g et m
 Posté par 
Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 19:25
Mais sur l'axe vertical je n'ai rien si ?

Il n'y a pas de mouvement sur cet axe, donc les forces se compensent, de plus, mon expression de a ne place pas le vecteur accélération sur cette axe (la composante verticale est nulle).

Ou alors justement, je dis que T = -P ?

Merci.
 Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:13
les deux forces se compensent sur l'axe vertical mais justement ça va te permettre de trouver l'expression du module de T
 Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:13
et ce n'est pas T = - P
 Posté par 
Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:39
Puisque les deux forces se compensent, leur module sur l'axe vertical sont égaux non ? Donc c'est plutôt Tz = P = mg ?

(Quand je disais T = -P, je voulais dire 
 Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:41
T = - P en vecteur est faux aussi évidemment

oui c'est Tz qui compense P
 Posté par 
Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:46
Oui, mais Tz = -P en vecteurs quoi… Non ?

Je ne sais pas comment les noter… On ne parle pas de tension tangente ou normale si ?

Donc, j'ai  ?
 Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:48
bon ba ton équation vectorielle est juste donc maintenant tu projettes selon ur et uz
 Posté par 
Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:51
Cela me donne donc Tz = mg et Tr = l.sin(α)ω2 ?

Je n'ai alors pas T complet… Et je ne suis pas plus avancé pour déterminer α si ?
 Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:52
en faisant un dessin je pense que tu peux relier facilement Tz, Tr, T et a

c'est comme en 1ere S
 Posté par 
Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:56
J'ai T = Tr.sin(a) + Tz.cos(a) c'est ça ?
 Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 20:59
non tu mélanges tout

en vecteur tu as : T = Tr + Tz

et ça te donne Tr = - T sin a   et Tz = T cos a
 Posté par 
Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 21:05
Ah oui, j'ai dit n'importe quoi effectivement…

Donc j'ai  ?
 Posté par 
Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 21:59
Ainsi, j'ai donc  ?

Que suis-je censé en faire ?

Merci.
 Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 22:00
alors là je ne comprends absolument pas cette égalité

on a décomposé T sur uz et ur donc maintenant tu as tout pour projeter ton PFD !
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Sheeftre : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 22:02
Mais pour obtenir T on a déjà utilisé le PFD non ?

Je pensais qu'il fallait que j'exprime T…
  Posté par 
efpere : Masse au bout d'un fil et trajectoire circulaire  15-09-11 à 22:09
je t'explique :

le PFD donne :

m.a = m.g + T (le tout en vecteurs)

On décompose :

- m.l.w².ur = Tz.uz + Tr.ur - m.g.uz  (ici seuls les ur et uz sont des vecteurs)

on projette :

-m.l.w² = Tr

0 = Tz - m.g

ensuite GEOMETRIQUEMENT, on a montré que Tr = - T sin a   et Tz = T cos a

d'où : T.cos a =  m.l.w²

et      T.sin a =  m.g

on élimine T :   tan a = g / (l.w²)

Et voilà !

le résultat est logique : on voit que la gravité g se bat contre l'inertie l.w²

plus on tourne vite, plus l'influence du poids diminue et a augmente