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MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère

Posté par
TheBartov 10-05-13 à 19:03

Bonjour tout le monde ! Nous avions eu notre premier cours sur la magnétostatique cette semaine, cependant je n'arrive pas à utiliser le théorème d'ampère avec la même simplicité que le théorème de Gauss. Je me demandais donc s'il était possible que vous m'expliquiez un cas concret, pour que je puisse calquer votre méthode pour mon usage.

Prenons l'exemple du fil infini parcouru par un courant I et de densité de courant . Comment arrive-t-on à expliquer que :

$\vec{B}(x,y,z)=B(r)\vec{u_{\theta}}$

Merci à vous, et bon week end !

Posté par re : MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère 10-05-13 à 21:17

Bonsoir,

De manière synthétique et cependant très amicale, il s'agit de la combinaison de 2 facteurs:

- les propriétés du champ magnétique: produit vectoriel, dont l'intensité est en 1/r^2
- la symétrie du fil infini

Suffisant pour amorcer une réflexion féconde? Si non, n'hésite pas!

Posté par re : MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère 11-05-13 à 12:07

Merci de votre réponse !

Donc, laissez moi vous exposer mon déroulement, et pouvez vous me dire s'il tient la route ?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Soit un champs magnétique engendré pas la présence d'un fil infini parcouru par un courant I orienté vers le haut :

                                             $\Large \vec{B}(x,y,z)$

1) A cause de la symétrie du problème, nous pouvons dire que le champs est indépendant de z, et en passant aux coord polaires :

                                         $\Large \vec{B}(x,y)=\vec{B}(r)$

C'est maintenant la partie où je suis le moins sur de moi...
2) L'équation de Maxwel-Ampère (E) nous dit que le champs magnétique tourne autour du fil :

   $\Large \vec{rot}\vec{B}(r)=\mu_0\vec{j}(z) \Longrightarrow \vec{\nabla}\times\vec{B}(r)=\mu_0\vec{j}(z)$

Mon problème, c'est le passage entre ces deux lignes...

                                     $\Large \Longrightarrow B(r)\vec{u_{\theta}}$

Soit C un cercle d'équation x²+y²=1 (donc r²=1)

         $\Large \oint_C B(r)\vec{u_{\theta}}\vec{dl} = \mu_0\iint\limits_{disque}\vec{j}\vec{dS}=\mu_0I_{s}$

et

     $\Large \oint_C B(r)\vec{u_{\theta}}\vec{dl} = B(r)\oint_C\vec{u_{\theta}}\vec{dl}=B(r)\int_0^{2\pi} rd\theta=B(r)2\pi r \\ \\                   \Longrightarrow B(r)2\pi r=\mu_0I_{s} \Longleftrightarrow B(r)=\frac{\mu_0I_{s}}{2\pi r}$

Posté par re : MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère 11-05-13 à 22:32

UP !

Posté par re : MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère 12-05-13 à 07:47

Bonjour,

Halte aux cadences infernales ...

En l'espèce il me semblerait plus logique de partir de la loi de Biot et Savart, mais soit...

Si on essaie de détailler le passage "délicat":

$\vec {\nabla} \wedge \vec {B} = \mu_0.\vec{j}$

Or en coordonnées cylindriques:

$\vec {\nabla} \wedge \vec {B} =( \frac {1}{r} .\frac{\partial  B_{z}}{\partial \theta} -\frac{\partial  B_{\theta}}{\partial z} ).\vec{e_{r}} + (\frac{\partial  B_{r}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial r}  ).\vec{e_{\theta}} + \frac {1}{r} (\frac{\partial (r . B_{\theta})}{\partial r} -\frac{\partial( r B_{r})}{\partial \theta} ).\vec{e_{z}}$

Les considérations de symétrie menant à: $\vec{B}(r,\theta,\phi) =  \vec{B}(r)$

$\vec {\nabla} \wedge \vec {B} =  \frac{\partial B_{z}}{\partial r}  \vec{e_{\theta}} + \frac {1}{r} \frac{\partial (r . B_{\theta})}{\partial r} .\vec{e_{z}}$

Et comme en plus: $$\vec{j} = j.\vec{e_z}$

On a bien:

$\vec{B}=\left(\begin{array}{c} \\ 0 \\ \\ B_{\theta}(r) \\ \\ 0 \\ \end{array}\right)$

Je peux aller prendre mon café?

Posté par re : MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère 12-05-13 à 12:00

Bizarrement, j'ai compris avec la méthode de Biot et Savart. Mais avec le théorème d'Ampère, j'avais quelques soucis ! Quoiqu'il en soit, merci beaucoup pour votre patience, j'ai compris grâce à vous. Cependant, "avec les mains", ne suffirait-il pas de dire que comme rot(B)=µj on a obligatoirement B qui tourne autour de j en suivant la règle des trois doigts ? On arriverais ton que B est bien dans le sens de u !

Posté par re : MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère 12-05-13 à 13:02

No Soucy!

Une bonne analogie qui nous vient de la méca des fluides. dans le cas d'un tourbillon $\vec{B}$ le rotationnel $\vec{\j}$ est l'axe du tourbillon.

A+

Posté par re : MAGNETOSTATIQUE : explications pour le théorème d'ampère 12-05-13 à 13:04

Thanks

++

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