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Longueur ombre projetée

Posté par
Philae509
13-05-19 à 15:31

Bonjour,
Je suis face à un exercice que je ne comprends pas du tout. Je ne sais pas comment le résoudre et je n'arrive pas à comprendre la correction. Pouvez-vous m'aider SVP ?

Enoncé de l'exercice :
Considérant la Terre sphérique d'obliquité , calculer en fonction de la latitude et de la hauteur h d'un obélisque, la longueur de l'ombre portée au sol de ce dernier au midi solaire les jours des :
a) solstice d'été                b) solstice d'hiver

On se placera dans l'hémisphère nord e prenant garde au cercle polaire.
On pourra représenter la Terre en coupe suivant le plan méridien.


Correction:
a) l=h*tan(-)
b) l = h*tan(+)
Pas d'éclairement au nord du cercle polaire ( (/2)- )

Merci d'avance de votre aide !

Posté par
vanoise
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 16:14

Bonjour
Pour commencer, as-tu bien compris tous les mots techniques utilisés dans l'énoncé ?
solstice d'hiver, solstice d'été, obliquité, latitude ...
Si oui, il suffit de faire deux schémas clairs correspondant aux deux solutions à étudier. Un minimum de trigonométrie suffit alors...
Peux-tu scanner et poster sur le forum les deux schémas ?

Posté par
Philae509
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 16:46

Merci pour votre réponse, voici les schémas:

Longueur ombre projetée

Posté par
vanoise
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 17:43

Le  soleil étant considéré comme extrêmement loin de la terre (distance terre - soleil extrêmement grande par rapport au rayon terrestre), on peut considérer que le soleil éclaire une moitié de la terre. Tu ne semble pas avoir bien compris comment positionner le cercle polaire aux solstices d'hiver et d'été.
Il est midi solaire lors de cette étude, l'obélisque est donc mal placé. Il est dans la zone éclairée et sur le méridien au plus près du soleil.

Posté par
vanoise
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 18:11

Pour t'aider un peu, voici un schéma volontairement incomplet et non annoté (à toi de compléter !). C'est un schéma en 2D, le plan de figure contenant le centre de la terre et le méridien sur lequel se trouve l'obélisque (en rouge). Pour plus de clarté, j'ai exagéré la hauteur de celui-ci ; cette hauteur est en pratique très inférieure au rayon terrestre.

Longueur ombre projetée

Posté par
Philae509
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 20:35

Je pense que le schéma correspond  à un solstice d'été, j'ai placé les angles et ainsi que la longueur h de l'obélisque, mais je ne vois pas comment représenter l'ombre sur le schéma.

Longueur ombre projetée

Posté par
vanoise
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 20:58

OK pour ce que tu as fait. L'ombre portée est la distance PH. Attention : la figure est un peu trompeuse dans la mesure où h=HS est très petit devant le rayon terrestre. L'arc PH sur la figure est en pratique assimilable à un segment de droite perpendiculaire à HS. La seule difficulté consiste à exprimer l'angle en fonction des données.

Longueur ombre projetée

Posté par
Philae509
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 22:13

Si on approxime PH  à un segment perpendiculaire à [HS], on a alors la relation suivante :

PH = tan()*HS
Donc il suffit de trouver   en fonction de et pour trouver la longueur PH  de l'ombre.
Mais je n'arrive pas à relier à et , pouvez me donner un indice SVP ? (Les formules trigonométriques suffisent-elles ?)

Posté par
vanoise
re : Longueur ombre projetée 13-05-19 à 23:05

Si tu prolonges comme je l'ai fait SP de façon à obtenir un triangle rectangle, tu peux écrire simplement :
+ + = /2 rad
Tu as aussi :
+ = /2 rad
Je te laisse terminer et traiter le cas du solstice d'hiver.

Longueur ombre projetée

Posté par
Philae509
re : Longueur ombre projetée 14-05-19 à 08:39

Pour le solstice d'été:
On a ++ = +
Donc = -
On a donc PH=tan( -) *HS

Pour le solstice d'hiver:
J'ai fait le schéma ci-dessous. J'ai trouvé les relations :
++= ++=/2
Et je trouve =, ce qui n'est pas la bonne réponse, où me suis-je trompée sur le schéma SVP ?

Longueur ombre projetée

Posté par
vanoise
re : Longueur ombre projetée 14-05-19 à 13:34

Pour faire simple, on peut remarquer qu'il suffit, par rapport à l'étude précédente, de remplacer par (-).
Sinon, concernant ta figure :
1° : tu as modifié ta convention de coloriage : puisqu'il est midi solaire à l'instant de la mesure, la zone éclairée est l'hémisphère de droite sur ton schéma.
2° : ton point P est mal placé : PS est parallèle aux rayons lumineux émis par le soleil.

Posté par
Philae509
re : Longueur ombre projetée 15-05-19 à 14:38

D'accord, merci beaucoup pour votre aide !

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