Coucou
Pourriez-vous m'aider à faire cet excercice sur les lois de Kepler s'il
vous plait?J'ai fè les questions 1 et 2, mais je suis pas sure
pour le debut de la 3
Merci d'avance

La plan euclidien R² est rapporté à son repère orthonormal direct canonique
(0,i,j). Si M est un point du plan, on note (p,F)ses coordonées polaires
et on pose u(F)=cosF i + sinF j et v(F)=-sinF i + cosF j
On considère un point mobile du plan R² dont la position à l'instant
t est donnée par:
OM=f(t)=p(t)u[F(t))]
où p(t) et F(t) sont deux foctions deus fois dérivable de R vers R

1. Donner les composantes de la vitesse V et de l'accélération
G à l'instant t dans la base mobile (u[F(t)],v[F(t)]
2.si, pour tout t,le vecteur accélération est proportionnel au vecteur
OM, on dit que le mouvement est à accélération centrale. Montrer
qu'alors (1/2)p²F'=A est constante (loi des aires)
On supposera cette condition remplie dans la suite avec A différent
de 0
3.On suppose dans cette question que l'accélération vérifie G=-kOM
où k est une constante réelle >0
Montrer que les coordonnées cartésiennes de M vérifient une équation différentielle
du second ordre que l'on précisera
Montrer que la trajectoire est une ellipse de cnetre O et que le mouvement
est périodique d'une période indépendant de la trajectoire
4. On suppose dans la suite que G=-kOM/||OM||^3 où k est une constantes
réelle >0
Montrer que p considéré comme fonction de F vérifie une équation différentielle
du second ordre (E) que l'on précisera (on utilisera la loi
des aires pour exprimer F' en fonction de p)
5.On pose z=1/p. Donner l'équation différentielle (E') vérifiée
par la fonction z de la variable F
6.Résoudre (E'). En déduire les solutions de (E)
Montrer que la trajectoire du point M est une ocnique (C) de foyer O dont
on précisera le paramètre en fonction de k et A
7.On suppose dans la suite que (C) est une ellipse d'excentricité
e, de demi-grand axe a et on admet que le mouvement est périodique
d'une période T telle que AT est l'aire limitée par l'ellipse
Montrer que T²/a^3 est une constante que l'on déterminera

Merci d'avance