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Loi de Planck

Posté par
matix 19-11-09 à 15:38

Bonjour,

Dans un exercice, on me demande d'appliquer la loi de Planck.

Je précise les données: on considère une lampe émettant un rayonnement UV, assimilée à un corps noir à la température 11600K. Le domaine spectral utilisé en sortie dans l'UV correspond à des longueurs d'ondes comprises entre 0.1 µm et 0.4 µm. On désire calculer approximativement la puissance émise dans cette plage de longueur d'onde en utilisant la loi d'émission de Planck. Pour ce faire, on demande dans un premier temps de calculer la puissance émise par la lampe entre $\lambda$ et $\lambda + d\lambda$ pour la longueur d'onde $\lambda_0=0,25 µm$ . Enfin, en supposant que cette puissance varie très peu entre 0.1 µm et 0.4 µm, en déduire la puissance totale émise entre ces deux longueurs d'onde par la lampe.

On a donc $J(\lambda) = \frac{2 \pi h{c}^2}{\lambda^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c}}{k\lambda T}\right)-1}$ (puissance émise par unité de surface du corps noir entre $\lambda + d\lambda$ ). En faisant l'application numérique, je trouve $J(\lambda_0) = 2,7 \times 10^{15} W.m^{-3}$ . Or, le corrigé donne $dJ = 1.355 \times 10^9 W/m$ . Pourquoi l'unité a-t-elle changé? Et comment obtient-on cette valeur numérique? J'ai pourtant vérifié mes calculs...

Quant à la seconde question, comment faut-il s'y prendre?

Merci d'avance!

Posté par re : Loi de Planck 19-11-09 à 17:23

Ce n'est pas vraiment mon domaine et donc, il est possible que j'ai écrit des bêtises.

A toi de voir.
------------------

Le J que tu as écrit est en W.m^-3

Mais nulle part là dedans, on ne tient compte de la plage de longueur d'onde Lambda --> Lambda + d Lambda.

Pour trouver l'énergie par unité de surface émise sur la plage de longueur d'onde Lambda --> Lambda + d Lambda.

Il faut intégrer J.d Lambda sur la plage de longueur d'onde Lambda --> Lambda + d Lambda

Et comme J est considéré quasi constant sur toute la plage, on a:

dF = (2.Pi.h.c²/Lambda^5) / (e^(h.c/(k.lambda.T)) - 1). d lambda.

Et ici, dF est en W.m^-3 * m = W/m²

dF = (2*Pi*6,626.10^-34 * (3.10^8)²/(0,25.10^-6)^5) / (e^(6,626.10^-34*3.10^8/(1,38066.10^-23 *0,25.10^-6*11600)) - 1)

dF = 2,7.10^15 * d lambda

dF = 2,7.10^15 * (0,4.10^-6 - 0,1.10^-6) = 8.10^8 W/m² (qui est bien une puissance par unité de surface).
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Il me semble qu'il y a une erreur dans le corrigé qui a fait d Lambda = (0,4.10^-6 + 0,1.10^-6) m au lieu de d Lambda (0,4.10^-6 - 0,1.10^-6) m.

Avec cette erreur, on arrive alors à dF = 2,7.10^15 * (0,4.10^-6 + 0,1.10^-6) = 1,35.10^9 W/m²
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Posté par re : Loi de Planck 19-11-09 à 23:01

Ok, merci pour la réponse! J'ai compris pour cette question, et le raisonnement se tient parfaitement! Par contre, concernant ma deuxième question, une idée?

Posté par re : Loi de Planck 20-11-09 à 10:24

On a répondu aux 2 questions.

1)
la puissance émise par la lampe entre Lambda et lambda + d lambda pour la longeur d'onde Lambda o est :

$dJ = \frac{2 \pi h{c}^2}{\lambda_o^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c}}{k\lambda_o T}\right)-1} d\lambda$

2)
Pour trouver J sur l'intervalle de lambda [0,1.10^-6 ; 0,4.10^-6] m, on doit normalement faire :

$J = \int_{0,1.10^{-6}}^{0,4.10^{-6}} \frac{2 \pi h{c}^2}{\lambda^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c}}{k\lambda T}\right)-1} d\lambda$

Mais comme on précise que la puissance varie très peu entre 0.1 µm et 0.4 µm, cela revient à faire :

$J = \int_{0,1.10^{-6}}^{0,4.10^{-6}} \frac{2 \pi h{c}^2}{\lambda_o^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c}}{k\lambda_o T}\right)-1} d\lambda$

Et donc, comme $\frac{2 \pi h{c}^2}{\lambda_o^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c}}{k\lambda_o T}\right)-1}$ ne dépend pas de lambda, on a :

$4$ J = \frac{2 \pi h{c}^2}{\lambda_o^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c}}{k\lambda_o T}\right)-1} * (0,4.10^{-6} - 0,1.10^{-6}}$

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