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levage d'une tige

Posté par
neo62950
25-10-20 à 17:42

Bonjour à tous
J'ai besoin de votre aide pour un autre exercice

On  considère  une  tige  homogène  de  longueur L et  de  masse m ݉pouvant  tourner librement autour de l'axe (Oz) (voir figure). On notera C le milieu de la tige. Cette tige étant initialement immobile et horizontale (=0  ), on souhaite la redresser afin de l'amener en position verticale(= /2).

Pour cela, une corde est fixée à l'extrémité A de la tige. Cette corde passe par une  poulie en B (x=0, y=L)  puis rejoint le point H où se trouve un système de traction exerçant une tension de norme T constante. On supposera que la corde est toujours tendue.

1)Déterminer  l'expression  du  moment  par  rapport  à  O  du  poids  de  la  tige  en fonction de

2)Déterminer  l'énergie  potentielle  de  pesanteur  de  la  tige,  ainsi  que  le  travail effectué par le poids lors d'une variation infinitésimale d

3)En déduire le travail effectué par le poids lorsqu'on redresse la tige de la position horizontale jusqu'à la position verticale.

4)Exprimer en fonction de , dans la base (\vec{u}x, \vec{u}y), les vecteurs \vec{OA} et \vec{AB}. Donner en  fonction de l'expression de la distance AB (on rappelle que  cos²+ sin² =1).  

5)La tension exercée par la corde en  A s'écrit \vec{T}= T\vec{u}\vec{u}= \vec{AB}/||\vec{AB}|| est un vecteur unitaire  pointant de A  vers B. En utilisant  les résultats de  la question précédente, montrer que le moment de cette force par rapport à O s'écrit: \vec{\Gamma}(\vec{T})= \frac{TL}{\sqr{2}}\frac{cos\theta }{\sqr{1-sin\theta }}\vec{u}_{z}

6)Rappeler  les  conditions  d'équilibre  de  la  tige.  En  déduire  pour  un  angle quelconque l'expression de T pour que la tige soit à l'équilibre.


un sacre morceau celui la. je vous met le schema sur lequel j'ai ajouté les forces, en esperant ne pas en avoir oublié. J'ai mis P au bout de la tige, met faut il le mettre la ou au milieu (C)?

Je met ce que j'ai trouvé pour l'instant:

1)  Donc le Moment du poid: Mo(\vec{P}=P.L.cos (si je met P en C je remplace L par OC)

2) EPP=mg(y1-y0
WAB(\vec{P})= -EPP  (la par contre j'ai un doute)

3) si me raisonement au dessus est bon
WAB(\vec{P})= -mgL

Cela vous parait il correct pour l'instant?

Merci à tous

levage d\'une tige

Posté par
vanoise
re : levage d'une tige 25-10-20 à 18:15

Bonsoir
Bien vu pour le moment.

Posté par
vanoise
re : levage d'une tige 25-10-20 à 18:59

Il y a tout de même un certain nombre de choses à corriger...
1° : la tige homogène a son centre de gravité confondu avec son centre géométrique C. Pour calculer le moment du poids et l'énergie potentielle, il faut en tenir compte et modifier en conséquence la représentation du vecteur poids sur la figure.
2° : sur la figure, la force exercée par le système de traction sur la corde est l'opposée de celle que tu as représentée.
3° : pour la question 2 : il s'agit d'exprimer le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire de la tige. Pour cela, il faut commencer par exprimer la variation  d'altitude élémentaire dyc du point C lorsque augmente de d.
Je te laisse corriger et continuer...

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 11:28

vanoise @ 25-10-2020 à 18:59

Il y a tout de même un certain nombre de choses à corriger...
1° : la tige homogène a son centre de gravité confondu avec son centre géométrique C. Pour calculer le moment du poids et l'énergie potentielle, il faut en tenir compte et modifier en conséquence la représentation du vecteur poids sur la figure.


C'est un point sur lequel je n'etait pas sur effectivement. Je corrige cela tout de suite
donc ca me donne
Mo(\vec{P})= ||\vec{P}||. OC. cos?

vanoise @ 25-10-2020 à 18:59

2° : sur la figure, la force exercée par le système de traction sur la corde est l'opposée de celle que tu as représentée.


Pourtant il me semblais qu'une tension s'exerce dans le sens du fil non?

vanoise @ 25-10-2020 à 18:59

3° : pour la question 2 : il s'agit d'exprimer le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire de la tige. Pour cela, il faut commencer par exprimer la variation  d'altitude élémentaire dyc du point C lorsque augmente de d.
Je te laisse corriger et continuer...


ok donc j'ai
dyc= ||\vec{OC}||. (sin1 - sin 0)

ce qui me donne pour la question 2:
Epp = mg(dyc) = mg .||\vec{OC}||. (sin1 - sin 0)

donc

Wdyc= -Epp = -mg(dyc = mg .||\vec{OC}||. (sin0 - sin 1)

ca te semble correct?

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 11:35

est ce que je peux remplacer (sin1-sin0) par d?

si oui lorsque cela devient (sin0-sin1) je met -d??

Posté par
vanoise
re : levage d'une tige 26-10-20 à 11:50

Citation :
Pourtant il me semblais qu'une tension s'exerce dans le sens du fil non?

Tu as raison si tu veux parler de la force exercée par le câble sur le système de traction. Comme on s'intéresse habituellement aux forces exercées par le milieu extérieur sur le système étudié, j'ai parlé de la force exercée sur le fil par le système de traction. Principe des actions réciproques : ce sont à chaque instant deux forces opposées.
Par la suite, tu évalues la variation d'altitude yc quand l'angle passe d'une valeur o à une valeur 1. L'énoncé demande une variation élémentaire dyc assimilable mathématiquement à une différentielle. Tu pars de l'expression générale de l'altitude :

y_{c}=\frac{L}{2}\cdot\sin\left(\theta\right)

et tu exprimes la différentielle dyc.

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 12:23

pour exprimer une differentielle j'ai ca dans mon cours
df=f(x0+ dx)−f(x0)

si c'est ca j'ai dy= y(0 + d) -y(0) ??

Posté par
vanoise
re : levage d'une tige 26-10-20 à 12:37

Tu peux considérer yc comme une fonction de l'angle : y_{c}=f\left(\theta\right) . Dans ces conditions, la différentielle est, en utilisant les notations du cours de math :

dy_{c}=f'\left(\theta\right).d\theta

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 12:53

donc j'ai dyc=OC. cos.d ?

Posté par
vanoise
re : levage d'une tige 26-10-20 à 14:09

Oui !

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 14:57

Parfait

donc je reprend la question 2

Epp= mg.dy = mg(OC.cos.d)

et Wdy= - mg(OC.cos.d)


ce qui me chagrine c'est pour la question 3:
le travail fourni pour une variation de entre 0 et /2
quand =/2, cos= 0 ce qui me fait un travail nul. Je pense que j'ai un soucis.

Pour la question 4:
j'ai \vec{OA}= ||\vec{OA}|| cos \Theta +  ||\vec{OA}|| sin \Theta

pour trouver le vecteur AB je fait simplement OA +OB = AB (le tout en vecteur bien sur)

donc \vec{AB} =  ||\vec{OB}|| cos \Theta + ||\vec{OB}|| sin \Theta) - ( ||\vec{OA}||cos \Theta +  ||\vec{OA}||sin \Theta)
ce qui me donne \vec{AB} = (||\vec{OB}|| - ||\vec{OA}||) ( cos \Theta + sin\Theta)
mais je vois pas ce que je dois faire avec le cos²+sin²=1

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 15:43

j'ai trouvé pour la question 4 c'est bon, par contre la 3 j'y suis toujours pas.

Posté par
vanoise
re : levage d'une tige 26-10-20 à 16:18

Pour 3 : il faut écrire l'expression du travail élémentaire en fonction de d puis intégrer entre 0 et rad. Tu vas obtenir un résultat simple que tu aurais pu obtenir à partir de la variation d'énergie potentielle de pesanteur/
Pour les vecteurs, il faut faire intervenir les vecteurs unitaires.

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 17:24

Pour les vecteur j'ai trouvé pas de soucis.
Pour le 3 je sais qu'il faut integrer mais du coup j'integre la formule du travail que j'ai mis plus haut?

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 17:26

donc la 3 c'est

W=   - mg.OC.cos.d
j'integre entre 0 et /2 et c'est tout?

Posté par
neo62950
re : levage d'une tige 26-10-20 à 18:03

c'est bon exercice terminé, un grand merci encore une fois
a bientot pour de nouvelles aventures

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