Niveau licence

Les intégrales en mécanique

Posté par
azentia 10-12-17 à 16:38

Bonjour à tous!

Je suis étudiant en Licence Informatique et redoublant en grande partie à cause de L'UE physique aha!

Je vous explique, je n'ai pas fait S malgré une mention très bien dans mon bac le chapitre "intégral" n'était que peu aborder au programme de mathématique et dans mon UE "Mécanique classique" les intégrales on une part importante!

Le principe de vecteur, de forces, de direction, projection, dérivés.. Je commence réellement à les bosser et à saisir leur sens mais il reste des calculs qui me semble incroyablement difficile c'est les intégrales !

Je comprend le principe "d'aire sous la courbe" du calcul de "rectangle très petit" de "inverse de la dérivé" mais concrètement quand je dois trouver la vitesse à partir de l'accélération par exemple je ne comprend pas le calcul qui est effectué mon prof me répète sans cesse "on intègre.." alors oui mais quel est le calcul réaliser ?

J'ai cherché des cours/vidéos mais je ne comprend jamais ce qu'il se passe quand ils "intègrent"
Est-ce que quelqu'un aurait un cours, une piste ou un exemple concret du "calcul" qui se produit quand on fait une intégrale parce que je n'arrive pas à finir mes exercices de méca' à cause de cette fameuse partie :/

Merci d'avance à vous

Posté par re : Les intégrales en mécanique 10-12-17 à 17:58

Hello

2 voies à explorer peut être:

1) (là on empiète un peu sur l'ile des mathématiques) tu consultes un cours en ligne niveau terminale sur le chapitre intégration. Les cours en ligne du CNED pour le secondaire sont pour moi ce qu'il y a de mieux et sont agrémentés d'exercices d'apprentissage très progressifs ... mais bon ... les goûts et les couleurs ... c'est donc ici:

2) ensuite, ou bien en parallèle, tu rapportes ici les énoncés des problèmes de physique qui te posent soucis, tu exposes ces soucis, et des "sachants" par leur pédagogie naturelle enlèvent les points de blocage mathématiques tout en te faisant "sentir" le sens physique. Niveau L1 ça marche encore pas mal je crois.

Posté par re : Les intégrales en mécanique 10-12-17 à 18:21

Merci de ta réponse!

au sens mathématique je pense avoir bien compris les intégrales et le principe des primitives mais en physique pas du tout voici un exemple concret :

Une masse de 250 g accrochée à un ressort de raideur k=100 N/m peut se déplacer
horizontalement en ligne droite sans frottement. On déplace la masse de 5 cm vers la
droite par rapport à sa position d'équilibre puis on la lâche sans vitesse initiale. Quelle est
sa vitesse (en norme) lorsqu'elle repasse par sa position d'équilibre?
a) On utilisera la conservation de l'énergie mécanique du système « masse + ressort » en
expliquant pourquoi.
b) On retrouvera le résultat en passant par la résolution des équations du mouvement

On écrit Tr(tension du ressort) = -k(x-xEqui)Ex
Puis : 1/2mvEqui² = Integrale(Trdx)

Et là je suis perdu je ne comprend absolument pas le calcul qu'il faut faire et pourtant j'ai bien trouver l'équation et les forces du système :/

Posté par re : Les intégrales en mécanique 10-12-17 à 20:10

Alors

La première équation dit simplement que la tension d'un ressort est proportionnel à son allongement. Ce coefficient de proportionnalité étant appelé la "raideur" du ressort.

Donc T = -kdx

dx est l'allongement (en valeur algébrique, c'est à dire signé '+' dans un sens et '-' dans l'autre)
D'où le signe '-' qui indique que le ressort exerce une force de rappel: c.à.d. si dx est positif (dans un sens), T s'y oppose (tire dans l'autre sens)

La seconde est indépendante de la précédente et exprime le "relation fondamentale de la dynamique".
Essayons la méthode "brutale":

tu te souviens peut être de la "formule" du Lycée:

Dans un référentiel galiléen: $\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$

qui relie l'accélération d'un système à la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées.

La brutalité c'est maintenant:

$F = ma$

donc:

$F\times v \times dt = m \times \frac{dv}{dt} \times v \times dt$

Soit

$F \times dx = m \times v \times dv$

Soit

$\int F.dx = [\frac{1}{2}mv^2]$

Nous venons de relier "en douce": la 2nde loi de la dynamique au théorème de l'énergie cinétique. A moins bien sûr que je t'ai perdu en chemin. Alors tu me dis à quelle étape et nous reformulerons

Posté par re : Les intégrales en mécanique 10-12-17 à 20:25

Merci c'est très clair et merci de prendre le temps de m'expliquer! Ça me chagrine un peu de ne pas comprendre tout ça si ça vient du lycée mais du coup arriver à l'étape de l'intégrale le calcul que j'ai pris en note sur ma feuille (le prof donne le résultat de l'intégrale sans la calculer en détail...) ne m'avance pas du tout comment on peut relier primitive et la force de rappel ?

Posté par re : Les intégrales en mécanique 11-12-17 à 03:56

Citation :
Ça me chagrine un peu de ne pas comprendre tout ça si ça vient du lycée mais du coup arriver à l'étape de l'intégrale le calcul que j'ai pris en note sur ma feuille (le prof donne le résultat de l'intégrale sans la calculer en détail...) ne m'avance pas du tout comment on peut relier primitive et la force de rappel ?

Cette phrase, sans doute parce que très longue, me laisse penser que tu n'as pas vraiment compris ce que j'écrivais précédemment. Je reformule en mode moins "brutal":

Appelons x l'allongement du ressort (cela veut dire que si   $l$   est sa longueur et $l_0$ sa longueur au repos: $x = l-l_0$ )

Pour un tel allongement la force de rappel qu'il exerce vaut:

$\vec{T} = -k\vec{x}$ ,  soit   $T = -kx$

1ere méthode:

La relation fondamentale de la dynamique dit: $\Sigma \vec{Forces} = m\vec{a}$

Donc ici     $-k.x = m\frac{d^2x}{dt^2}$

Ce que l'on peut aussi écrire $-k.x = m\frac{dv}{dt}$   où $v$ est la vitesse  ( $v=\frac{dx}{dt}$   donc $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dv}{dt})$

Pour un déplacement élémentaire ("infinitésimal") $dx$ autour de cette position:

$-k.x.dx = m\frac{dv}{dt}dx = m\frac{dx}{dt}dv = mvdv$

Donc pour une succession de déplacements infinitésimaux entre A et B (en A l'allongement est $x_A$ et la vitesse $v_A$ , en B l'allongement est $x_B$ et la vitesse $v_B$ )

$-k.x.dx =  mvdv$ devient   $\int_{x_A}^{x_B}-kx.dx =  \int_{v_A}^{v_B}mvdv$

Or $\int_{v_A}^{v_B}mvdv = [\frac{1}{2}mv^2]_{v_A}^{v_B}$

Donc $\int_{x_A}^{x_B}-kx.dx =  [\frac{1}{2}mv^2]_{v_A}^{v_B}$

C'est ce à quoi arrive ton prof. Ensuite:

Le terme de droite: $[\frac{1}{2}mv^2]_{v_A}^{v_B} = \frac{1}{2}mv^2_B - \frac{1}{2}mv^2_A$

Le terme de gauche: $\int_{x_A}^{x_B}-kx.dx = -k [\frac{1}{2}x^2]_{x_A}^{x_B} = \frac{1}{2}kx^2_A - \frac{1}{2}kx^2_B$

Donc $\frac{1}{2}kx^2_A - \frac{1}{2}kx^2_B = \frac{1}{2}mv^2_B - \frac{1}{2}mv^2_A$

Si tout n'est pas devenu limpide maintenant pour toi, peux tu "pointer" la ligne où tu "décroches"

2ème méthode:

Au lieu d'appliquer la relation fondamentale de la dynamique, appliquons le théorème de l'énergie cinétique, qui dit:

Entre un instant t_A où le système étudié est en A et un instant t_B où le système est en B, la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces qui se sont exercée sur le système lors du déplacement de A à B

Décortiquons cela:

la variation d'énergie cinétique:     $\Delta Ec = Ec(B) - Ec(A) = \frac{1}{2}mv^2_B - \frac{1}{2}mv^2_A$

la somme des travaux des forces qui se sont exercée sur le système lors du déplacement de A à B: par définition, le travail d'une force pour un déplacement de A en B est égal à la circulation de cette force le long du trajet ce qui s'écrit mathématiquement:

$W = \int_A^B\vec{F}.d\vec{x}$

Donc ici   $W = \int_A^BT.dx = \int_A^B(-kx).dx$

Le théorème de l'énergie cinétique dit en final:

$\frac{1}{2}mv^2_B - \frac{1}{2}mv^2_A= \int_A^B(-kx).dx$

Donc comme tout à l'heure: $\frac{1}{2}kx^2_A - \frac{1}{2}kx^2_B = \frac{1}{2}mv^2_B - \frac{1}{2}mv^2_A$

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