Bonjour
Le règlement du forum demande de scanner les schéma mais de recopier les énoncés en précisant ce que tu as réussi à faire et ce qui te bloque.
Un peu d'aide quand même puis je te laisse réfléchir et proposer une solution.
Méthode possible :
1° Enlever la résistance R entre A et B : La tension existant alors entre A et B représente, dans ce cas particulier la fém de Thévenin. Dans ce cas particulier : E_th=U_AB.
2° la résistance R précédente étant toujours retirée, remplacer les deux générateurs idéaux de tension de fém E1 et E2 par de simples fils conducteurs de résistances négligeables. La résistance que mesurerait un ohmmètre entre A et B est la résistance de Thévenin R_th.

donc je transforme la figure 4 en deux schema pour calculer Eth et Rth comme dans la photo , mais le problème je ne sais pas quel théorème je vais utiliser , et je bloque sur la direction du courant I lorsque on va enlevait la résistance R dans A et B.  

C'est bien cela !
Aucune difficulté pour R_th.
Pour Eth, tu peux éventuellement commencer par trouver le générateur de Thévenin équivalent à la partie gauche du circuit : l'ensemble (E1,2R)//2R puis, de manière analogue, trouver le générateur de Thévenin équivalent à la partie droite du circuit : l'ensemble (E2,2R)//2R.
Le résultat devient ainsi évident.

Mais comment je vais faire Eth pour le circuit E1 on va prendre que les deux resistance a cote de ce dernier ou ...
et pour Rth si on prend le circuit  viens du point  A donc 2R//2R a gauche de A et a droite ce qui donnera Req1 des deux résistance a gauche du A et a droite Req2 ensuite c'est deux Req seront en serie n'est ce pas ?

OK pour les résistances ; cela devrait te conduire à R_th=2R
Pour Eth : la méthode que je t'ai proposée conduit à deux générateurs de Thévenin en série...

est-ce que c'est correct ??
je bloque sur les mailles et la loi de diviseur de courant je comprend pas comment m'y prendre.

j'ai oublier d'attacher la bonne image ma question était la suivante :
est-ce que c'est correct ??
je bloque sur les mailles et la loi de diviseur de courant je comprend pas comment m'y prendre.

Générateur de Thévenin équivalent à (E1,2R)//2R :

Les deux résistances 2R sont, comme indiqué sur ton schéma, parcourues par un même courant et constitue un diviseur de tension. La fém de Thévenin s'écrit :



La résistance de Thévenin correspond à 2R//2R :



Raisonnement analogue pour le générateur équivalent à (E2,2R)//2R :



Vues des bornes A et B, les deux générateurs sont placés en série, les sens des fém correspondant à deux générateurs en opposition. Conclusion : vu des bornes A et B, une fois enlevée la résistance R, le reste du circuit est équivalent à un générateur de fém :

E

La résistance équivalente est :



Ce dernier résultat avait déjà été obtenu par une autre méthode. Je l'indique tout de même pour montrer la cohérence des deux méthodes.

Merci pour votre temps j'ai enfin compris comment résoudre cette exercice.