Niveau maths spé

Le soleil et son intéraction avec la Terre

Posté par
laurafr13 14-09-08 à 14:40

Bonjour,

Merci d'avance pour votre aide précieuse.

Le soleil est considéré comme un astre dont la répartition de masse à symétrie sphérique, de centre S et de masse M_S, très supérieure à celle de la Terre M_T. Le référentiel de Kepler (R_k)=(S XYZ) centré en S dont les axes SX, SY et SZ gardent des directions fixes est considéré comme galiléen. On note R le rayon de l'orbite terrestre.
Sauf indication contraire, la Terre sera considérée comme à symétrie sphérique, de centre T et on suppose qu'elle ne subit que l'action du Soleil.

On considère dans un premier temps que l'orbite terrestre est circulaire de centre S et de rayon R.

1. Dans ces conditions, en appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique à la Terre, établir simplement la relation existant entre la vitesse angulaire de révolution de la Terre sur son orbite, la constante de gravitation universelle G, R et M_S.

Pour cette question, j'ai trouvé = $\sqrt{\frac{GM_S}{R^3}}$

2. Donner alors l'expression de la durée de l'année T en fonction de G, R, M_S et en déduire la valeur numérique de M_S.

Pour cette question on a donc T=2/ . On en déduit M_S= 1,99.10³⁰ kg.

A partir de là je dois avouer me sentir un peu perdue.

3.Tous les 11 ans en moyenne, le Soleil connaît de brutales éruptions qui éjectent violemment de grandes quantités de particules chargées. Quand ce "vent solaire" atteint la Terre, cla nuit aux télécommunications hertziennes. il est donc nécessaire de disposer de satellites de surveillance du Soleil, placés constamment entre le Soleil et la Terre.

On travaillera dans le référentiel (R')=(S xyZ) tournant autour de (SZ) par rapport au référentiel de Képler en suivant le mouvement de la Terre, toujours supposé circulaire de rayon R, tel que T soit constamment sur la droite (Sx).

Soit P un tel satellite, assimilable à un point matériel de masse m. P doittourner autur de S sur une orbite circulaire, de façon que S, P et T soient constamment alignés. P est donc supposé en équilibre dans le référentiel (R'), en un point tel que $\vec{PT}$ =d. $\vec{e_x}$ où $\vec{e_x}$ est le vecteur directeur de l'axe (Sx), voir figure ci-dessous.

3.1. Le référentiel (R') est-il galiléen?
Effectuer le bilan des forces s'exerçant dans ce référentiel sur P, qui y sera supposé à l'équilibre. Ces forces seront exprimées dans la base ( $\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}$ liée à (R') en fonction de G, M_S, M_T, R et d.

3.2. Ecrire alors la condition d'équilibre de P relativement à (R'). En déduire une relation entre M_S, M_T, R et d.

3.3. Résoudre cette équation en d: on utilisera le fait que d<<R, et l'on pourra effectuer un DL en $\frac{d}{R}$ . On rappelle que si la valeur absolue de <<1, alors (1+)=1+

Vérifier l'homogénéité du résultat.
Calculer numériquement cette valeur de d à l'équilibre.

3.4 Discuter rapidement et sans calculs de la stabilité de cette position d'équilibre vis à vis de petites variations de position, qu'on supposera avoir lieu le long de la droite (Sx).

Merci infiniment pour votre aide, j'ai vraiment envie de pouvoir comprendre de problème,

Laura

Le soleil et son intéraction avec la Terre

Posté par re : Le soleil et son intéraction avec la Terre 17-09-08 à 02:18

3.1 :
référentiel non galiléen car le mouvement n'est pas rectiligne+uniforme par rapport au référentiel de kepler qui est lui galiléen.
=>ie: il faut prendre en compte l'accélération d'entrainement due à la rotation du référentiel
3.2 et 3.3 :
PFD sur le point P à l'équilibre ( $\omega = \Omega_\lambda$ ) puis projection sur l'axe ox :

$m \frac{{(\Omega_\lambda (R - d))}^2}{R - d} + G \frac{m M_T}{d^2} = G \frac{m M_S}{(R - d)^2}$

$G (R - d) \frac{M_S}{R^3} + G \frac{M_T}{d^2} = G \frac{M_S}{(R - d)^2}$

$M_S ( 1 - \frac{d}{R}) + M_T\frac{R^2}{d^2} = M_S \frac{1}{(1 - \frac{d}{R})^2}$

homogénéité OK (masse + masse = masse)

R >> d, on fait un DL d'ordre 1:

$M_S (1 - \frac{d}{R}) + M_T\frac{R^2}{d^2} = M_S (1 + 2 \frac{d}{R} )$

$M_T\frac{R^2}{d^2} = 3 M_S \frac{d}{R}$

$\frac{d^3}{R^3} = \frac{M_T}{3 M_S}$

3.4 :
l'équilibre de P est instable car si P se rapproche du soleil :
- la force d'attraction du soleil augmente
- la force d'attraction de la terre diminue
=> P se rapproche d'autant plus du soleil => instable : point P à la limite des "spheres d'influances" de deux corps massifs.