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le ressort (mécanique)
Bonjour à tous,
qqun aurait-il l'amabilité de m'aider svp pour l'ex suivant, je n'arrive pas à faire le c et d et si qqun pouvait confirmer le b x=0,4 ça serait vraiment gentil ! C'est plutot important examen demain
Merci d'avance 
Un ressort ayant une masse négligeable et une constante de raideur (ou de rappel), k,
égale à 700 N/m est posé verticalement sur une table et maintenu comprimé de 0.4 m par
rapport à sa longueur naturelle. Une balle de masse égale à 0.5 kg est attachée à
l'extrémité du ressort.
a) Quelle vitesse maximale le ressort peut-il imprimer à la balle lorsqu'on le laisse
se détendre ?
b) à quelle hauteur par rapport à la position de départ (alors que le ressort est
comprimé) cette vitesse maximale est atteinte ?
c) à quelle hauteur maximale par rapport à la position de départ la balle s'élèvera-t-
elle ?
d) à quelle hauteur maximale par rapport à la position de départ la balle s'élèverait-t-
elle, si elle était libre de quitter le ressort ?
Origine du repère à la position de l'extrémité mobile du ressort sans contrainte. (axe vertical vers le haut)
Force du ressort sur la masse : F = -k.z
Poids de la masse : P = -mg
-mg - kz = m.d²z/dt²
m.d²z/dt² + kz = -mg
d²z/dt² + (k/m)z = -g
en t = 0, on a dz/dt = 0 (vitesse nulle) et z = zo = -0,4
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Il faut résoudre l'équation différentielle.
d²z/dt² + (k/m)z = -g
d²z/dt² + (700/0,5)z = -10
d²z/dt² + 1400z = -10
z = A.cos(V1400 .t) + B.sin(V1400 . t) - 10/1400
z(0) = -0,4 --> A - 10/1400 = -0,4
A = -0,393
z = -0,393.cos(V1400 .t) + B.sin(V1400 . t) - 10/1400
(dz/dt)(0) = V1400.B.cos(V1400 .t) = 0 ---> B = 0
z(t) = -0,393.cos(V1400 .t) - 10/1400
dz/dt = 0,393 * V1400 * sin(V1400 .t)
la vitesse max est donc : vmax = 0,393 * V1400 = 14,7 m/s
Cette vitesse est atteinte lorsque |sin(V1400 .t)| = 1, soit donc pour V1400 .t = Pi/2 + k.Pi
La première fois que cela arrive (ressort en compression) : t = (Pi/2)/V1400 = 0,042 s (arrondi)
La masse est à ce moment en z = -10/1400 = -0,00714 m
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c)
Hauteur max atteinte (masse attachée au ressort):
z(t) = -0,393.cos(V1400 .t) - 10/1400
Lorsque cos(V1400 .t) = -1 ---> z max = 0,393 - 10/1400 = 0,386 m
Soit donc 0,386 + 0,4 = 0,786 m plus haut que la position de départ.
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d)
Bille non attachée au ressort:
Energie élastique du ressort comprimé : E1 = (1/2).k.(delta L)² = (1/2) * 700 * 0,4² = 56 J
56 = mgh
h = 56/(0,5*10) = 11,2 m (hauteur max atteinte par la masse par rapport à la position de départ)
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Rien relu et donc gare aux erreurs.
Merci
petite question pour les deux première j'ai travaillé avec la conservation de l'énergie et j'obtiens les mm réponses avec (mv^2):2 = (kx^2):2 + mgx
et donc cette méthode me semble un peu plus simple mais dès lors comment faire pour calculer la hauteur maximal du point c ?
j'ai remarqué qu'elle est égale à une des postions que j'ai trouvé en calculer x à la vitesse max + 0,4= 0,386 +0,4= 0,786 m
Je suppose que ce n'est pas du au hasard pouvez-vous m'éclairer svp
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