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Le parachutiste - méca

Posté par
saba70 16-02-16 à 20:10

Bonsoir à tous, j'ai cet exercice de mécanique à faire sur la chute d'un parachutiste :
Un parachutiste en chute à la vitesse v₀ ouvre son parachute à la date t=0.
L'homme est de masse m et l'aire de son parachute est S. La force de portance du parachute a pour expression $\vec{F}$ =Sv² $\vec{u}$ , où $\vec{u}$ est un vecteur unitaire opposé à la vitesse $\vec{v}$ de chute. est une constante.
- Faire le bilan des forces qui agissent sur le parachutiste.
je trouve deux forces, le poids et la force de portance.
-Appliquer le PFD et en déduire l'équa diff à laquelle satisfait v(t), la vitesse de chute du parachutiste.
je trouve donc $\vec{F}$ + $\vec{P}$ =m $\vec{a}$
je me place dans le repère (O, $\vec{v}$ , $\vec{u}$ ), où $\vec{v}$ est le vecteur normal à $\vec{u}$ .
Sur $\vec{v}$ on a donc aucune accélération donc a_v=0
Sur $\vec{u}$ , je trouve m.a_u=-m.g+.S.v²
c'est donc ici que je bloque car je ne vois pas comment obtenir l'équa diff plus simplement que ça.

J'espere que vous pourrez m'aider, merci.

Posté par re : Le parachutiste - méca 16-02-16 à 21:25

Bonsoir,
Ton énoncé n'est pas très précis ; s'il s'agit bien de l'étude du mouvement vertical descendant du parachutiste, une projection de la RFD sur un axe vertical orienté vers le bas conduit simplement à :

$\frac{dv}{dt}=g-\frac{\alpha S}{m}v^{2}$
Une des méthodes de résolution possibles (pas la plus rapide mais la plus simple du point de vue mathématique) consiste à séparer les variables puis à considérer le dénominateur comme une différence de 2 carrés : A²-B² = (A+B)(A-B) :

$\frac{dv}{g-\frac{\alpha S}{m}v^{2}}=dt=\frac{dv}{\left(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)\left(\left(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)\right)}$
Tu as sûrement vu en cours de maths ce qu'on appelle la "décomposition en éléments simples :

$\frac{1}{\left(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)\left(\left(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)\right)}=\frac{K_{1}}{\left(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)}+\frac{K_{2}}{\left(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)}$
D'où :

$dt=\frac{K_{1}\cdot dv}{\left(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)}+\frac{K_{2}\cdot dv}{\left(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{\alpha S}{m}}v\right)}$
Je te laisse calculer les constantes K1 et K2 en fonction de ,m,S et g.
L'intégration est relativement simple...

Posté par re : Le parachutiste - méca 16-02-16 à 21:52

Remarque : tu peux gagner du temps si les propriétés des tangentes hyperboliques te sont familières...

Posté par re : Le parachutiste - méca 17-02-16 à 12:15

Merci pour votre réponse, la question suivante me demande l'expression de la vitesse terminale du parachutiste. Quelle méthode doit je faire ? la simple projection sur un axe vertical ou la méthode de décomposition en éléments simples que je ne comprends pas vraiment ? Merci

Posté par re : Le parachutiste - méca 17-02-16 à 12:54

Ce qui semble bizarre aussi c'est que un peu plus loin on nous demande de calculer la vitesse terminale, ils nous donnent des données numériques suivantes : S, et g. Cela voudrait dire que la masse n'intervient pas dans le vitesse non ?

Posté par re : Le parachutiste - méca 17-02-16 à 19:13

Bonsoir,
La vitesse finale s'obtient simplement en remarquant qu'il s'agit de la valeur obtenue lorsque l'accélération est nulle.

$V_{lim}=\sqrt{\frac{mg}{\alpha S}}$
Je te laisse réfléchir : à toi de montrer simplement que la vitesse tend nécessairement vers cette valeur limite.
Bien sûr, si tu as été capable de terminer le calcul que je t'ai indiqué hier pour obtenir v(t), tu dois être capable de vérifier que la limite de l'expression de v(t) quand t tend vers l'infini est bien la valeur indiquée en début de ce message.

Posté par re : Le parachutiste - méca 23-02-16 à 13:46

Merci beaucoup, j'ai reussi à trouver cela grâce à la fonction tangente hyperbolique !

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