Si la surface est chargée, le vecteur champ n'est pas définie sur la surface, donc le flux à travers cette surface n'est pas définie !
Pour en revenir à ton  expression du théorème de Gauss, il me semble avoir lu quelque chose de ressemblant dans un vieux livre datant des années 50 (1950 pas 1850) mais cela n'a pas de sens :
ou bien les charges surfaciques sont réparties sur des surfaces situées à l'intérieur de la surface de Gauss : elles sont comptées comme des charges intérieures avec le coefficient 1
ou bien les charges surfaciques sont réparties sur la surface de Gauss à travers laquelle on cherche à calculer le flux du vecteur champ ; dans ce cas, le flux ne peut être calculé puisque le vecteur champ n'est pas définie sur une surface chargée.
Dans la pratique, on ne choisit jamais une surface de Gauss confondue avec une surface chargée ; en revanche, on peut choisir une surface de Gauss très près de la surface chargée mais alors les charges sont intérieures ou extérieures.
Je me répète : je suis curieux de savoir où tu as bien pu voir cette expression !

min 23.55

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je pense que  l'expression du théorème de Gauss qu j'ai ennoncé est applicable lorsqu'il ya des charges ponctuel situé sur la surface

même objection : s'il y a une charge en un point de la surface de Gauss, le vecteur champs en ce point n'est pas défini et donc, le calcul du flux est impossible !

prend l'exmple d'une charge positioné au centré d'une cercle
le flux de E créé par cette charge a travers la surface engendré par la cercle est egale a 0
puisque le vecteur E est perpendiculaire au vecteur de l'orientation du surface!

Bonsoir,
J'ai peur que tu n'ais pas compris grand chose au théorème de Gauss...
1° : Je croyais que ton problème concernait les charges situées sur la surface de Gauss : dans ton exemple, la surface de Gauss est une sphère et la charge est au centre : c'est donc une charge intérieure !
Dans l'exemple que tu me cites, le vecteur champ est en chaque point de la surface de Gauss normal à la surface  et la norme du vecteur champ est la même en tout point de la surface de Gauss. Le flux est donc tout simplement : 4.r²E !