Niveau école ingénieur

laser impulsionnel et puissance crête

Posté par
zebrico 20-11-20 à 17:27

Bonjour à toutes et à tous,

Je souhaite calculer une puissance crête d'un laser sachant :

1/ profil gaussien d'impulsion
2/ durée à mi hauteur $\tau$
3/ taux de répétition $PRF$

Il y a le site "CalcTool" ( ) qui permet de le faire tout seul, mais je ne sais pas exactement la formule qu'il utilise.

Je fais donc un calcul ( détaillé juste après ) mais qui ne me donne pas exactement la même valeur que le site.

Merci d'avance pour celles/ceux qui auront l'envie de suivre mon calcul et donc me dire si je me plante ou pas?

Une impulsions gaussienne possède une durée Width Half Maximum : $\tau_{FWMH}$ telle que :

$\tau_{FWMH} = \sqrt{2\cdot log(2)}\cdot \tau$

où log désigne le logarithme népérien

Ensuite vient le calcul de la puissance moyenne $P_{moy}$ .
Avant tout voici les notations que j'utilise :

$t$ : le temps
$P_o$ : la puissance crête
$P(t)=P_o\cdot exp\left(-\frac{1}{2}\cdot \dfrac{t^2}{\tau^2}\right)$ : puissance de l'impulsion gaussienne
$T=1/PRF$ : la période de répétition
$t_1$ : le temps à partir duquel on considère que la puissance de l'impulsion n'est pas nulle

Avec ceci de posé on a donc :

$P_{moy} = \frac{1}{T}\cdot \int_o^{T}\ P(t)dt$
$= \frac{P_o}{T}\cdot \int_o^{T}\ exp\left(-\frac{1}{2}\cdot \dfrac{t^2}{\tau^2} \right) dt$
$= \frac{P_o}{T}\cdot \left(\int_o^{t_1}+\int_{t_1}^{T}\right)\ exp\left(-\frac{1}{2}\cdot \dfrac{t^2}{\tau^2} \right) dt$

mais la première intégrale est nulle, par définition de $t_1$ .
De plus, pour la même raison on a :

$T-t_1 = 2\cdot \tau_{FWHM}$

Ainsi :

$P_{moy}= \frac{P_o}{T}\cdot\int_{0}^{2\cdot \tau_{FWHM}}\ exp\left(-\frac{1}{2}\cdot \dfrac{t^2}{\tau^2} \right) dt$

J'effectue ensuite un changement de variable :

$x=\frac{t}{\sqrt(2)\cdot \tau}$

Ce qui donne donc :

$P_{moy}= \frac{P_o}{T}\cdot\sqrt{2}\cdot \tau\int_{0}^{2\cdot \sqrt{log(2)}}\ exp\left(-x^2 \right) dx$

Et en reconnaissant la fonction d'erreur, à un facteur près on a :

$P_{moy}= P_o\cdot PRF\cdot\sqrt{2}\cdot \tau\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot erf[2\cdot \sqrt{log(2)}]$

D'où :

$P_o = \frac{P_{moy}}{PRF\cdot \tau\cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot erf[2\cdot \sqrt{log(2)}]}$

Une fois ceci fait, voici les valeurs pour les applications numériques :

$P_{moy} = 0.100[W]$

$PRF = 1.0010^6[Hz]$

$\tau = 5.00\cdot 10^{10} [s]$

Moi j'obtiens $P_o = 162 [W]$
Alors que le site m'indique $P_o = 187 [W]$

Et je ne vois pas d'où vient mon erreur.
Est ce que je devrai intégrer entre $0$ et $4\cdot \tau_1$ ?
ou autre?

Merci d'avance!

Posté par re : laser impulsionnel et puissance crête 20-11-20 à 19:32

Bonjour,

Vous vous compliquez un peu la vie : avec une durée de 0,5 ns et un espacement de 1000 sn, vous pouvez intégrer entre - et + sans problème pour avoir l'énergie, ce qui donne $\Large \tau \sqrt{2\pi}=t_\rm{FWMH}\frac{\sqrt{2\pi}}{2\sqrt{2\ln(2)}}$ ce qui conduit bien à la valeur du site.

Il manque un 2 dans votre durée : ce que vous indiquez est la 1/2 durée à 1/2 hauteur, alors que le site utilise la durée.

Posté par re : laser impulsionnel et puissance crête 20-11-20 à 22:12

Merci gts2.

Oui c'est vrai, je n'y ai même pas pensé qu'ici ça revient à intégrer sur $\mathbb{R}$ .

Mais du coup dans le cas plus général où le rapport cyclique est beaucoup plus élevé, de l'ordre de 0.1, 0.2, comment on choisit les bornes?

Merci encore!

Posté par re : laser impulsionnel et puissance crête 20-11-20 à 22:43

Bonjour,

Même pour un rapport cyclique élevé, il faut se rappeler les propriétés des gaussiennes : il y a 99,7 % entre $\pm 3 \sigma$

Posté par re : laser impulsionnel et puissance crête 27-11-20 à 15:30

Rebonjour,

Merci beaucoup!

Désolé du retard...

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